ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Матричные операции из "Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии" Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех ее уравнениях равны нулю. [c.228] Матрица коэффициентов системы (10—2) может содержать произвольное число строк т и столбцов п. В этом случае говорят, что матрица имеет размерность т X п. Если т = п, то соответствующая матрица называется квадратной порядка п. Элементы квадратной матрицы, индексы которых равны между собой (т. е. ац, = /), образуют главную диагональ матрицы. [c.229] Матрица, содержащая одну строку, т. е. размерности 1 X и, называется вектор-строкой, а матрица размерности п X 1, т. е. состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом. [c.229] Матрица, элементы которой выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется соответственно нижней или верхней треугольной матрицей. [c.230] Квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметрической, г. в. А = А . [c.230] Каждое слагаемое в определителе матрицы третьего порядка является произведением трех элементов матрицы, причем элементы выбираются только по одному из каждой строки и каждого столбца. Столбцы, которым принадлежат элементы каждого слагаемого, образуют некоторую перестановку чисел 1, 2 и 3. Так, например, третьему слагаемому суммы (10—8) соответствует перестановка 312. [c.230] Пусть А — прямоугольная матрица порядка т х п. Если в ней выделить к строк и к столбцов, то элементы, находяш,иеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка к. Эта матрица называется подматрицей матрицы А, а ее определитель называется минором к-то порядка матрицы А. [c.231] Рангом матрицы А называется порядок наибольшего отличного от нуля минора этой матрицы. [c.231] Основные свойства определителя. Величина определителя в матричном исчислении используется для установления существования и единственности решения систем линейных уравнений. Рассмотрим основные его свойства. [c.231] Действительно, если в матрице А поменять местами две одинаковые строки, то ее определитель должен изменить знак. Но поскольку строки одинаковые, то перемены знака не произойдет, т. е. определители будут также одинаковыми. Это возможно лишь в том случае, если (1е1 А = 0. [c.231] Доказательство утверждения следует непосредственно из определения (10—9). Пусть первая строка матрицы А умножается на величину с. Каждое из слагаемых уравнения (10—9) обязательно содержит элемент из первой строки, умноженной на с, а следовательно, и определитель умножается на эту величину. [c.231] Действительно, каждое из слагаемых определителя (10—9) содержит элементы, расположенные выше и ниже диагонали. Отсюда, единственным, не равным нулю слагаемым будет слагаемое, содержащее диагональные элементы. [c.231] Доказательство этого утверждения основано на том, что при транспонировании матрицы четность перестановки не меняется [32], а поскольку слагаемые определителей исходной и транспонированной матриц одни и те же, то и определитель остается без изменения. [c.232] Такие операции, как перестановка строк или столбцов, умножение строки на число, отличное от нуля, прибавление к элементам одной строки элементов другой, умноженной на произвольное число, отличное от нуля, носят название элементарных преобразований и широко используются при решении системы линейных уравнений. [c.232] Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, т, е. каждое решение первой является решением второй, и наоборот. При применении элементарных преобразований сохраняется эквивалентность исходной и вновь полученной систем. Это обстоятельство позволяет преобразовать систему к виду, удобному для решения. [c.232] Прежде чем переходить непосредственно к методам решения систем линейных уравнений, рассмотрим вкратце порядок выполнения элементарных операций над матрицами. По аналогии с действительными и комплексными числами над матрицами так же определены элементарные операции. [c.232] Сложение (вычитание) матриц. Две матрицы А ж В можно сложить, если они имеют одинаковое число строк и столбцов. Суммой матриц АжВ размерности т X п является матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицы А и В. [c.232] Аналогично каждый элемент матрицы разности есть разность соответствующих элементов матрицы-уменьшаемого и матрицы-вычитаемого Сц = Ац — Bij. Процедура вычитания матриц аналогична процедуре сложения. [c.233] Формальные параметры процедуры A — исходная матрица, В — матрица результата, к — постоянная величина, п, т — размерность матрицы. При умножении квадратной матрицы порядка п на число к ее определитель увеличивается в А раз. [c.233] Вернуться к основной статье