ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Развитие возмущений в направлении течения около вертикальной поверхности из "Свободноконвективные течения тепло- и массообмен Т2" Ниже мы выпишем сначала для нестационарного течения полные уравнения относительно составляющих скорости и х, у, г), v x, у, т), температуры х, у, т), давления р х, у, т) и плотности р(а , у, т), где через % обозначено время. Затем цредполо-жим, что возмущения и х, у, т), и х, у, т) и т. д, налагаются на стационарное основное ламинарное течение. Оно является стационарным в том смысле, что осредненные значения и, V и т. д., т. е. й х, у), 1) х, у) и т. д., не зависят от промежутка времени, в течение которого производится осреднение, если он достаточно большой. [c.11] Эти уравнения позволяют исключить соответствующие члены из системы уравнений (11.2.10) (11.2.13). Кроме того, в рамках обычного приближения пограничного слоя -можно пренебречь всеми другими эффектами, влияющими на параметры основного потока. Они выражаются членами, которые содержат величину Рт В уравнении (11.2.11), а также вторые производные по х параметров течения й, и и . [c.14] Второе предположение, приведенное выще, учитывает порядок величины малых возмущений и сводит задачу к линейному приближению. Это означает, в частности, что периодические колебания не приводят к возникновению гармоник и не влияют на параметры осредненного течения. Таким образом, в уравнениях можно пренебречь всеми членами, которые содержат любое произведение и, и, Г и (или) их производных. [c.14] Теперь вернемся к приведенному выше предположению 4, которое позволяет получить рассматриваемые здесь уравнения 0 )ра — Зоммерфельда для амплитудных функции возмущений Ф и 5. Во-первых, считается, что эти функции аналогично параметрам основного потока Ф п I зависят только от переменной подобия X], т. е Ф = Ф(т1) и 5 = 5 т1). Во-вторых, предполагается, что производные по X пространственного коэффициента усиления возмущения ги длины волны возмущения Я (или волнового числа йг) пренебрежимо малы. [c.16] Получена система совместных уравнений шестого порядка. Три других граничных условия, которые ставятся при -п = О, зависят от конкретного типа рассматриваемого течения. Отметим, что уравнения содержат пять независимых параметров аг, аг, ш, Рг, О и что /(г ) и ф(г]) являются также функциями числа Прандтля Рг. [c.17] Светлыми значками обозначены частоты возмущений, измеренные в неустойчивом лами-течении частично или полностью зачерненными значками обозначены частоты воз- щЁИЫй, измеренные в области перехода прй ламинарном режиме течения. [c.18] Таким образом, на нейтральной кривой имеем Л == 0. [c.19] Аналогичные диаграммы устойчивости для плоских факелов и течений, развивающихся в условиях совместной естественной конвекции, рассматриваются в следующих разделах. [c.20] Асимптотические завиеимости в области (больших и малых чисел Прандтля, а также экспериментальные данные, Ьбозначенные значком 4-, заимствованы иа работ [61, 63]. Остальные результаты измерений О 1125], 0 [ЗбЬ [87], V [138], [54], А 174]. [c.21] Установлено, что такое замечательное согласие результатов измерений и линейной теории устойчивости распространяется и на более тонкую структуру неустойчивых течений и процессов переноса, хотя и не во всем широком диапазоне условий, для которых проводились исследования таких течений жидкости. По-видимому, хорошее согласие теории и эксперимента для рассматриваемых течений объясняется тем, что усиление возмущений является в высшей степени селективным процессом и поэтому не очень сильно зависит от частностей конкретных физических условий. [c.22] В следующих разделах обсуждаются любопытные следствия такого механизма начальной неустойчивости течения. [c.22] В работе [103] тщательно проанализированы характеристики устойчивости естественной конвекции около вертикальной поверхности, температура которой линейно изменяется с расстоянием, что соответствует п = 1 в уравнении (3.5.24). При этом учитывались эффекты, связанные с изменением параметров течения пр. потоку, с устойчивой стратификацией жидкости и работой сил сжатия. Диаграммы устойчивости получены для естественной конвекции воздуха (Рг= 0,733). [c.22] В работе [3] теоретически исследовалось развитие продольного менение возмущений, т. е. предполагалось, что амплитуда возмущений изменяется-синусоидально по времени и экспоненциально уменьшается или возрастает с расстоянием по потоку. Такой анализ развития возмущений отличается от чаще используемого на практике, когда рассматривается усиление возмущений по времени. В этом случае предполагается, что волновое число является действительным, частота представляет собой комплексную величину, а характеристики устойчивости соответствуют локальным параметрам основного течения. [c.22] Однако пространственный подход считается некоторыми исследователями небезупречным с математической точки зрения. Так, указывается [32], что в этом случае возникает неопределенность решений, поскольку пространственные моды не удовлетворяют временным граничным условиям в сечениях, расположенных далеко вверх и вниз по потоку от рассматриваемой области. Кроме того, наличие собственных значений а саг 0 не является необходимым условием неустойчивости пространственно развивающихся возмущений. Это связано с тем, что решения уравнений содержат Пространственные моды, распространяющиеся в обе стороны от источника колебаний. Поэтому мода возмущения, соответствующая собственному значению с отрицательной величиной 1, в области отрицательных х оказывается устойчивой. В результате не удается различить устойчивые и неустойчивые моды возмущения без решения задачи с начальными условиями [31]. [c.23] Бригс в работе [14] предложил другой критерий, чтобы определить, является ли мода с отрицательным значением кг действительно неустойчивой при X 0. Рассмотрим некоторую волну с комплексным собственным значением а = -)- а и действительным значением и. Волна затухает или нарастает в зависимости от того, меняется ли знак а/ при больших положительных значениях комплексной части величины са. Если знак меняется, то волна нарастает, в противоположном случае она затухает. В работе [148], где использован другой подход, получены те же выводы. [c.24] Заключение Теория пространственного развития возмущений. математически хорошо обоснована. В следующих разделах показывается (см. также рис. И.2.2), что результаты расчетов характеристик процесса нарастания или затухания возмущений,, распространяющихся по потоку, подтверждаются результатами измерений, С другой стороны, временной подход позволяет правильно ответить на вопрос, является ли данное течение устойчивым, но при этом нельзя отличить абсолютную неустойчивость, течения от конвективной. [c.25] Это удалось выяснить при изучении неустойчивости плазмы [146]. Для движущихся потоков, подчиняющихся дисперсионному условию 1)(со, а) =0, где (о—комплексная величина, а а —действительная, модель временного развития возмущений предсказывает, что неустойчивость развивается через некоторое-время после того, как в систему будет введено небольшое произвольное возмущение. Однако в системах с конвективной неустойчивостью, например в лампах бегущей волны или в двухструйных усилителях, на участках ограниченной длины можег сохраняться устойчивость, несмотря на воздействие малых хаотических возмущений, которые хотя и усиливаются, но удаляются от области, где они возникли. Аналогичная ситуация наблюдается И в обычных гидродинамических течениях [41]. Модель, пространственного развития возмущений позволяет исследовать, конвективную неустойчивость таких течений. [c.25] В следующих разделах рассматриваются естественноконвективные течения, для которых в качестве критерия неустойчивости было выбрано услоЬие ш .- 0. Оно оказалось исключительно надежным, так как получено хорошее согласие экспериментальных данных и результатов расчета по теории пространственного развития возмущений. Однако если для некоторых случаев обнаружится несоответствие, то следует руководствоваться более общими критериями, предложенными в работе [14]. [c.25] Вернуться к основной статье