ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Симметрия дисконтинуума. Пространственные группы симметрии из "Кристаллография рентгенография и электронная микроскопия" Исследуя возможные сочетания элементов симметрии конечных объемов, оказалось возможным установить, что сочетаний элементов симметрии, действующих на единственную точку (центр тяжести кристалла), т. е. точечных групп или классов симметрии, насчитывается 32. Для бесконечно протяженной пространственной решетки (дисконтинуума), кроме описанных выше элементов симметрии, возможны и иные проявления правильной периодической повторяемости мотива расположения точек системы за счет того, что смещение вдоль трансляции на целую трансляцию в бесконечно протяженной решетке есть операция трансляционной симметрии, приводящая систему точек в идентичное положение. Поэтому новые элементы симметрии содержат компоненту трансляции, совпадающую с ними по направлению. [c.54] если бесконечная правильная периодическая повторяемость системы точек проявляется в том, что она приходит в идентичное положение после сдвига и отражения в некоторой плоскости, то система точек считается имеющей плоскость скользящего отражения (рис. [c.54] Если же бесконечная правильная периодическая повторяемость системы точек проявляется в том, что она приходит в идентичное положение после поворота вокруг некоторой оси и смещения вдоль этой оси, то система точек считается имеющей винтовую ось симметрии (рис. [c.55] Комбинируя элементы симметрии пространственных рещеток так, чтобы полученное сочетание оказалось совместимым с условием существования решетки (регулярно периодическим заполнением ею пространства), получают 230 систем расположения точек в пространственной решетке (230 пространственных групп). Пространственной группой называют совокупность элементов симметрии, действующих на одну систему трансляций. [c.56] Реализация всех оперяпий симметрии класса приводит грань кристалла в то же ее положение реализация всех операций симметрии пространственной группы может приводить точку и в новое положение, но кристаллографически идентичное. Элементы симметрии систем точек как закрытые, т. е. сами по себе трансляции не содержащие, так и открытые, содержащие компоненту трансляции, способны взаимодействовать с трансляциями систем точек и порождать новые, производные элементы симметрии, расположенные в системе точек в новых местах или приобретающие новые качества. [c.56] Оперируя этими общими правилами, можно сложить любой элемент симметрии с любой трансляцией. Если элемент симметрии разложим на более простые, то каждый из компонентов составного элемента симметрии взаимодействует с трансляцией самостоятельно. Если компонент не целой трансляции содержится в элементе симметрии и в суммируемой с ним трансляции, то качество производного элемента симметрии может изменяться, так как оба компонента трансляции геометрически суммируются. [c.57] Рассмотрим расщепление класса симметрии на пространственные группы, познакомившись сначала с теоремами сложения плоскости с некомпланарной с ней трансляцией. [c.57] Теорема /. Сумма плоскости зеркального отражения и перпендикулярной к ней трансляции есть плоскость симметрии, параллельная данной и отстоящая от нее на половину трансляции в сторону последней (рис. 2.11,а). [c.57] В самом деле, наличие трансляции t переносит плоскость т в положение т, а для того, чтобы в ячейке существовала симметрия трансляции, необходимо, чтобы точка К повторялась в к, что возможно только в том случае, если, кроме плоскостей симметрии т и т, в ячейке будет присутствовать т , параллельная т и отстоящая от нее на расстояние //2. [c.57] Теорема //. Сумма плоскости зеркального отражения и наклонной к ней трансляции tn есть плоскость скользящего отражения а, Ь, с, п или й, параллельная данной и отстоящая на нее на половину проекции ta на нормаль к заданной плоскости (рис. 2.11,6). Разложение на 4 и Ь приводит к теореме I, а наличие ta делает полученную плоскость симметрии плоскостью скользящего отражения. [c.57] Проследим за расщеплением монопланального класса на монопланальные пространственные группы. Порождающий элемент симметрии класса — зеркальная плоскость симметрии т. Моноклинной симметрии соответствуют две системы трансляций (две трансляционные решетки Бравэ) примитивная Р с базисом хуг и базоцентрированная С с базисом хуг, д +(1/2)г/+(1/2)2. [c.59] Пусть трансляционная решетка примитивна, тогда по теореме I суммарная плоскость в решетке проходит на растоянии //2. Она может быть плоскостью а, Ь, с, й, т, п. [c.59] Если плоскость т, то группа Рт (см. рис. 2.12, а). Суммарная плоскость не может быть ни плоскостью й, так как ее трансляция 1/4 (6+с), что осуществимо только в ячейках, ни плоскостью Ь, так как ее трансляция 6/2 не лежит в заданном направлении, совпадающем с а. Плоскости с, а я п с трансляциями с/2, а/2, 1/2 (а+с) существовать в данных условиях могут, возникновение их равновероятно, но любую из этих трансляций можно считать осевой трансляцией с, изменив положение пучка трансляций. Все эти варианты равнозначны, их принято описывать как пространственную группу Рс (рис. 2.12, б). [c.59] Пусть трансляционная решетка базоцентрирована, ее отличие от примитивной состоит в наличии, кроме осевой трансляции, еще и диагональной с шагом в половину диагонали основания. Тогда по теореме П наличие диагональной трансляции в группе Рт приведет к возникновению дополнительной плоскости симметрии, расположенной на одной четверти осевой трансляции (см. рис. 2.12, в) полученная группа запишется как Ст. Добавляя диагональную трансляцию к группе Рс, следует учесть, что исходной плоскостью симметрии является с. Складывая ее трансляцию с/2 с новой трансляцией а/2, получим 1/2(а+с), т. е. плоскость п. Полученная группа запишется как Сс (рис. 2.12, г). [c.59] Если в направлении трансляции располагается ось симметрии, а перпендикулярно к ней плоскость симметрии, то символ записывают дробью, в числителе которой ставят ось, а в знаменателе плоскость. Если в записываемом направлении не лежит никакого элемента симметрии, то в записи ставят 1. Из примеров записи (табл. 2.3) видно, что систему трансляций обозначают первым символом, а кристаллическую систему — вторым, дающим главную ось. Кубическую систему распознают по наличию оси 3 в третьем символе. [c.60] По своему положению точки в элементарной ячейке могут быть расположены различно относительно элементов симметрии. Они занимают общее положение, если лежат вне элементов симметрии, и частное, если лежат в каком-либо элементе симметрии. В последнем случае элемент симметрии, с которым они совпадают, на них не действует, и от его, реализации точка не переходит в новое положение — она многократно совпадает со своим первоначальным положением. Поэтому в ячейке различают точки по их кратности. Кратные точки заняты идентичными элементами структуры. Кратностью точки называют число ее положений, занимаемых в процессе реализации всех элементов симметрии, воздействующих на точку. Естественно, что кратность точки зависит от числа ее степеней свободы. Случайно расположенная точка имеет три степени свободы лежащая в т — две степени, в L — одну и в //п — нуль. [c.62] правильные системы точек, не противоречащих симметрии выведенных нами монопланальных пространственных групп, составляют хуг хуг (2) две точки общего положения хОг (1) л (1/2) 2 (1) одну точку частного положения, лежащую в плоскости зеркальной симметрии т (для группы Рт) хуг хг/г+1/2 (2) две точки общего положения, связанные трансляцией с/2 плоскости с (в этом случае частное положение ке сокращает числа точек, так как точка, лежащая в плоскости скользящего отражения, не совпадает со своей симметричной точкой, а отстоит от нее на величину с/2) (для группы Рс) хуг (1/2)- -х, (1/2)+г/, г хуг (1/2)+л (1/2)—г/, г (4). Четыре точки общего положения, связанные попарно базисом ООО 1/2 1/2 О, поскольку ячейка Бравэ базоцентрированная две точки частного положения, связанные базисом ООО 1/2 1/2 О — хОг (1/2)-Ьх(1/2)2(2) для группы Ст хуг хг/г+1/2 (1/2)+х, 1/2)- -уг х+ + 1/2, (1/2)—у, 2+1/2 —четыре точки общего положения, связанные с базисом С (для группы Сс). Частное положение отсутствует, так же как и у группы Рс. Правильные системы точек заполняются элементами структуры одного сорта и полностью. [c.62] Элементом структуры может быть ион, атом, молекула, радикал последний может состоять из химически одинаковых, но кристаллографически разных атомов, а также из химически разных атомов. Таким образом, пространственная группа, связывая с пространством кристалла некоторую последовательность элементов симметрии и их сочетание, фиксирует правильные системы точек, а эти последние в свою очередь определяют возможные базисы конкретных структур. Соотношение же кратностей правильных систем точек или соотношение сумм их кратностей (если химически однотипные частицы занимают одновременно несколько правильных систем точек) дает стехиометрические формулы конкретных структур. Поэтому роль пространственных групп в структурном анализе чрезвычайно велика и каждое определение неизвестной структуры начинается с определения возможной для нее пространственной группы. [c.65] Вернуться к основной статье