ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Неустановившееся движение газа в пористой среде из "Подземная гидромеханика" Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа впоследствии было названо уравнением Лейбензона. [c.181] Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа (6.6) называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение (6.1) в виде произведений рт, в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость. [c.182] В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р , но коэффициент в правой части кр/ г Шо)-переменный, в него входит искомая функция р х, у, г, /). [c.182] Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6.6) или (6.8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Простейшие виды этих условий были рассмотрены в 7, гл. 2. [c.183] Так как уравнение (6.6) или (6.8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны. Некоторые из них уже были рассмотрены применительно к задачам упругого режима (метод последовательной смены стационарных состояний, метод интегральных соотношений, метод усреднения). [c.183] Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183] Чарного, Е. М. Минского и других показали, что при фильтрахщи разов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации. Математические труд-.лости в решении получающегося при этом дифференгщального уравнения еще более возрастают. [c.183] Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является. гшнеаризация, т. е. сведение его к линейному уравнению Фурье. Как покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6.6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяюшие требованиям практики. [c.184] Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходяшей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесимметрично расположенной скважине. [c.184] Аналитическое решение уравнения (6.14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений. [c.185] Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (6.8) линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится-для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения. [c.185] Используем линеаризованное уравнение (6.15) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной к. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р . С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом 0 , . Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени р(г, г). [c.186] Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (6.16) должно быть проинтегрировано при условиях (6.17), (6.18) и (6.19). [c.187] 5 была рассмотрена аналогичная задача об отборе через скважину упругой жидкости с постоянным дебитом Q из бесконечного первоначально невозмушенного пласта. Математическая постановка этой задачи представлена уравнением (5.49) с условиями (5.50)-(5.51). [c.187] Приведем здесь еще раз эти соотношения для упругой жидкости и сравним их с соотношениями (6.16)-(6.19) для газа. [c.187] Из приведенных данных видно, что во все соотношения для совершенного газа давление входит в квадрате, в то время как для упругой жидкости-в первой степени, коэффициент пьезопроводности и для жидкости заменяется на х = kpJ r mo) для газа коэффициент Qт /(2nkh)-ЯП батРатЛД Л)- в остальном все соотношения аналогичны. [c.187] Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона. [c.188] Подчеркнем, что решения (6.21)-(6.24) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (6.16), а не точного (6.6). [c.188] В 2 приведено решение задачи о нестационарном притоке, совершенного газа к скважине бесконечно малого радиуса с постоянным дебитом. Решение получено в результате интегрирования линеаризованного дифференциального уравнения. [c.189] Вернуться к основной статье