ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Наибольшая область асимптотической устойчивости из "Устойчивость химических реакторов" Некоторые результаты Бергера показаны на рис. У-8, где даны очертания наибольшей области асимптотической устойчивости, найденной при любом выборе Р. [c.100] К этой проблеме иначе подошли Парадис (1966 г.), Люке и Макгуир (1965 и 1967 гг.), которые вместо применения условий Сильвестра предпочли вывести уравнение кривой V = О непосредственно из решения алгебраических уравнений, полученных путем приравнивания определения (У.14) к нулю. Образцы этих результатов показаны на рис. У-9 и У-Ю. [c.100] Ряд причин приводит инженера к необходимости поиска наибольшей области асимптотической устойчивости для данного выбора V. Во-первых, при этом получается предельный результат, и, если наибольшая область асимптотической устойчивости слишком мала, то дальнейшая работа с выбранной функцией Ляпунова будет нецелесообразна. Во-вторых, поскольку семейство у-контуров расположено вокруг общего центра, нетрудно найти, если это необходимо, меньшую область асимптотической устойчивости, концентричную наибольшей области. В-третьих, наибольшая область асимптотической устойчивости определяет ту часть диапазона начальных условий, в которой система асимптотически устойчива если этот диапазон уже известен (например, после численного интегрирования уравнений системы), то относительный размер наибольшей области асимптотической устойчивости может рассматриваться как мера степени надежности, связанная с выбранной функцией Ляпунова. [c.100] Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска и-контура, который касается кривой и = 0. Такой и-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что и = О, и 2) нахождением максимума при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум V = 0. Оба указанных способа можно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100] Пример У-4. Рассмотреть пример У-1, используя теорию оптимизации. [c.100] Теперь уравнения (У,24б) и (У,27) решаются совместно, чтобы установить координаты (д 1 и точки касания (см. рис. У-2). [c.101] Здесь К должно быть выбрано так, чтобы дать значения 1 и 2 из уравнения (У,28б), которые после подстановки в (У,28а) приводят к и = 0. Читатель может проверить, что в данном случае Л = 4,36. [c.101] Метод Лагранжа дает необходимые условия экстремума в явной форме. Однако подробности решения далеко нетривиальны, и вычисления оказываются громоздкими даже для простейших случаев, рассмотренных выше. Более сложные системы приведут к совместно решаемым нелинейным уравнениям еще более высокого порядка. Поэтому следует ожидать, что некоторые преимущества мог иметь альтернативный метод исследования. Один из вариантов такого метода был предложен Бергером и Лапидусом (1968 г.). [c.101] Вернуться к основной статье