ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Применение методов решения систем нелинейных уравнений из "Оптимизация химико-технологических процессов" Данный метод будет основан на использовании блочной структуры системы (I, 1), (I, 6). Откажемся от формирования приближения для всей матрицы Якоби системы (I, 1), (I, 6) сразу и будем строить аппроксимации отдельно для матриц Якоби правых частей каждого из соотношений (1,1) [50, 261, используя информацию о входных и выходных переменных данного блока, которую получим во время проведения итерационной процедуры решения системы (I, 1), (I, 6). Интересно отметить, что в предыдущем случае также пришлось отказаться от построения аппроксимации для всей матрицы Якоби сразу и перейти к построчной аппроксимации. [c.67] Для определения SI- из уравнения (И, 189) мы можем воспользоваться формулами (II, 103), (II, 104), либо любым другим аналогом формул (II, 90), (II, 91), выписанным для определения матрицы fii+i- После того, как на -том шаге будут определены все необходимо найти приращения AjiI , с помощью которых будут определены следующие приближения для х zJ . Это аналог операции определения Axj с помощью уравнения (II, 11) в методе Ньютона и операции определения Pj из уравнения (II, 22) в обычном квазиньютоновском методе. [c.68] Система линейных уравнений (II,-191), (II, 192), как правило, имеет разреженную матрицу коэффициентов, поэтому длящее решения могут быть использованы также специальные методы [36]. [c.68] К решению этой системы можно подойти и по-другому. Действительно, системе уравнений (II, 191), (II, 192) можно дать следующую схемную интерпретацию. Ее можно рассматривать как математическую модель системы, структура которой совпадает со структурой исходной ХТС, а модели блоков см. соотношения (II, 192)] — линейны. Отсюда, для решения системы (II, 191), (II, 192) удобно использовать последовательный способ расчета ХТС. [c.68] Данный метод обладает следующими свойствами. [c.68] Используем теперь ту же самую гипотетическую схему, что и при рассмотрении свойства 3, для сравнения последовательного подхода с параллельным, при котором используется квазиньютоновский метод с блочной аппроксимацией. В дальнейшем будем называть этот подход параллельным методом. При использовании последовательного метода в сочетании с любым квазиньютоновским методом 2-го рода потребуется п шагов (здесь п — суммарная размерность разрываемых потоков) для определения решения системы (II, 3), (I, 6) при этом потребуется 2п ячеек памяти для хранения матриц Я, и /С . При параллельном методе, как мы видели, для определения решения системы (II, 3), (I, 6) потребуется т шагов т — размерность одного потока). Это очень интересный факт. В данном случае число итераций определяется не общей размерностью системы, которая может быть очень большой (в данном случае она равна 2Ыт), а максимальной размерностью потока (блока). Причем при усложнении структуры ХТС (увеличение числа обратных связей) величина п может существенно возрасти, что в свою очередь приведет к увеличению числа итераций при использовании последовательного метода. В то же время при параллельном подходе число итераций будет определяться только размерностью т одного потока, независимо от сложности структуры ХТС. Конечно, эти выводы верны только для линейных систем, однако подобное свойство рассмотренных методов может проявиться и при решении систем, близких к линейным. Параллельный метод потребует 2Ыт ячеек памяти, поскольку в каждом блоке для определения необходимо использовать две матрицы см. выражения (II, 103), (II, 104). Отсюда ясно, что при т п и применении параллельного метода число итераций будет меньше. При этом параллельный метод будет требовать меньшего объема памяти,I если ту 2М п. [c.70] Обычно необходимо рассчитать стационарный режим при различных значениях управляющих переменных и. Различают два режима расчета системы (II, 6) при изменении переменных и. В первом случае расчет системы (II, 6) проводится для небольшого числа значительно отличающихся одно от другого значений управлений и. Во втором случае проводится многократное решение системы (II, 6) для многих значений вектора и, мало отличающихся одно от другого. Типичный пример такого случая — это решение задачи оптимизации ХТС, когда переменные и меняются в соответствии с некоторой стратегией поиска, и при каждом значении и приходится решать уравнения (И, 6), описывающие стационарный режим схемы. Ко второму случаю сведется также решение систем нелинейных уравнений методом продолжения по параметру, а также решение систем нелинейных уравнений на каждом шаге интегрирования при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений каким-либо неявным методом. Рассмотрим отдельно эти случаи, поскольку учет их специфики может существенно повысить эффективность процедуры расчета системы (И, 6). [c.71] В виде примера рассмотрим последовательное применение метода простой итерации и квазиньютоновского метода. Поскольку вначале квазиньютоновский метод часто дает плохую сходимость, в случае, когда метод простой итерации обеспечивает сходимость, может оказаться выгодным вначале на первых п шагах, использовать метод простой итерации, но на каждом шаге векторы и / использовать для преобразования матрицы Я (или в соответствии с той или иной формулой квазиньютоновского метода, например, по формулам (П, 107), (П, 108). При i = п надо переходить на квазиньютоновский метод, причем в качестве начального приближения к матрице Яо (или o) использовать полученную к этому шагу матрицу Я,. Аналогично может оказаться выгодным, применять метод DEM вначале, а затем переходить на квазиньютоновский метод. [c.72] Это обеспечит хорошее начальное приближение для переменных х. Отсюда мы можем надеяться на быструю сходимость квазиньютоновского метода. [c.73] Остановимся теперь на выборе начального приближения для матрицы В при решении системы (II, 197). При выполнении условий (II, 196), (II, 199) и при условии, что кривизна функции / невелика, можно предположить, что матрица В, полученная на предыдущем шаге, будет хорошим приближением к Ji+i, поэтому в качестве Oq при решении системы (II, 197) может оказаться целесообразным взять матрицу . По сравнению с разностной аппроксимацией матрицы Якоби в начальной точке этот прием избавляет нас от дополнительных п расчетов левых частей системы (II, 197) в начальной точке. Хорошее начальное приближение может позволить отказаться от требования, чтобы на каждом направлении при решении системы (II, 197) происходило уменьшение нормы левых частей системы (II, 197), т. е. отказаться от выбора а в выражении (II, 14) из условия (II, 18) или (II, 19), что было вызвано желанием обеспечить стабильность поиска даже при плохом начальном приближении. В данном случае а будет полагаться равным единице как и в ньютоновском методе. [c.73] В заключение следует отметить, что квазиньютоновский метод позволяет лучше использовать информацию, полученную на предыдущем шаге, чем методы DEM, GDEM и Вольфа. Действительно, в последних трех методах могут использовать только значения переменных X, полученные на предыдущем шаге [см. выражения (II, 199)1, в то время как квазиньютоновский метод использует информацию и о матрице Якоби, полученную на предыдущем шаге. Поэтому в данном случае он может оказаться предпочтительнее упомянутых методов. [c.73] Вернуться к основной статье