ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Определение чувствительности оптимального решения по параметрам из "Моделирование сложных химико-технологических схем" Поскольку F (v, [х) О, функция F (v, i) принимает лшнималь-ное значение, равное нулю, в точках, где выполняется условие (V.42). На рис. 47 дана геометрическая интерпретация этого утверждения для случая, когда имеются одно ограничение типа равенства и одно ограничение типа неравенства. На поверхности ф = О ограничение ф (у) 0 определяет допустимую область D (штриховка направлена внутрь данной области). Кривая ЛВС — это линия уровня / (у) = х, (р, х ) на поверхности ф (у) = 0 при iJ (у) 0. [c.99] Ограничение (V,41) необходимо вводить потому, что если мы выберем 1-1 достаточно большим, то в области В может вообще не существовать ни одной поверхности уровня / ( у) = ц и тогда F (у, х) 0. Пример такого положения приведен на рис. 48. Здесь линия 7 — это линия уровня / (у) = р.1 для у 6 1- Пусть неравенство 1] (у) О ограничивает внутреннюю область кривой Yj на поверхности ф (у) = 0. Тогда, если задать р. = в области D не найдется ни одной линии уровня, на которой выполнялось бы равенство / ( ) = Kin т. е. F (и, р.) нигде не будет равно нулю. [c.99] Такой процесс последовательных приближений может оказаться невыгодным, поскольку при малых Д[х придется много раз минимизировать функцию (у, [х). Поэтому лучше сделать так Д х брать не малыми, а в случае, когда при каком-то (х будет выполняться неравенство (У,43), просто делить шаг по х пополам, минимизировать функцию Р (у, + А[х /2) и т. д. Можно пойти еш е дальше и шаг по х увеличивать, если, скажем, в двух последовательных точках (Хй и Хй+1 неравенство (У,43) не выполнялось, т. е. для поиска у применять несколько видоизмененную известную технику поиска минимума функции одной переменной. [c.100] Пример графика F v ) как функции х . [c.100] Рассмотрим другой способ построения последовательности чисел [ij, (J.2,. . х, . . при котором стремится к (j,, оставаясь все время меньше д,. [c.101] Докажем следуюш,ую теорему [16]. [c.101] Таким образом, если последовательность чисел [ij (А = 1,. . и) выбирается в соответствии с формулой (V,49), эта последовательность чисел удовлетворяет условию (V,50). [c.101] что система т + д выражений (У,67) и (У,68) эквивалентна т соотношениям (У,66). Чтобы в этом убедиться, надо просто подставить в соотношения (У,68) выражения для 2 (г = 1,. . ., д) из соотношений (У,67). Итак, мы формально получили задачу поиска таких значений п + д переменных. . ., .. ., г,, удовлетворяющих т д выражениям (У,67) и (У,68), при которых функция f принимает минимальные значения. [c.103] В данном случае параметры входят в ограничения типа равенств уже линейно, и для определения всех производных оптимального решения по параметрам можно воспользоваться формулами (У,65). [c.103] Действительно, если для какого-нибудь к выполняется соотно- шение (grad/-grad О, это означает, что луч, вдоль которого функция f уменьшается, направлен внутрь допустимой области, и экстремальная точка сошла с поверхности = О внутрь допустимой области. [c.105] Покажем, что в этом случае при изменении параметров ау на бесконечно малые величины bbf, да,- экстремальная точка останется на поверхностях (V,75). Действительно, при достаточно малых изменениях констант а/ условия (V,76) сохранятся, следовательно, и при проварьированных значениях констант экстремальная точка останется на поверхностях (V,75). [c.105] Остановимся теперь на фактическом вычислении производных (У,60). Рассмотрим вначале случай, когда ограничения типа неравенств (1,3) отсутствуют. [c.105] Пусть задача поиска минимума функции f при наличии ограничений (У,6.6) решается с использованием множителей Лагранжа. Прежде всего отметим, что при решении конкретных задач нет необходимости вводить вспомогательные переменные 2 . Действительно, решая совместно п т уравнений (У,66) и (У,69), получим значения неизвестных и (/ = 1,. . ., ге) и X (I = 1,. . ., т). Подставляя эти значения в уравнения (У,70), найдем значения Хг- Далее искомые производные подсчитываются с помош,ью формул (У,71) и (У,72). Таким образом, если разбираемая задача решается посредством множителей Лагранжа, производные (У,60) находятся без труда. [c.105] Возможны различные способы нахождения множителей Лагранжа. Рассмотрим один из них. Пусть определена экстремальная точка и. Ясно, что в этой точке должны выполняться соотношения (У,61). [c.106] По-видимому, наиболее целесообразно в данном случае поступить следующим образом. Величины Я/ надо искать из условия. [c.106] Заметим попутно, что найденные значения Х можно использовать для оценки того, насколько точно определена экстрелшльная точка г . Действительно, подставив найденные значения X в формулу (V,79), получим некоторое число о. Очевидно, что в идеальном случае должно быть а = 0. Отсюда, если а достаточно мала, экстремальная точка определена достаточно точно. Если же величина о не является достаточно малой, экстремальная точка найдена неточно и поиск экстремума нужно продолжать. [c.106] Вернуться к основной статье