ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Характерные особенности оптимальных проекций четырехмерных фигур на координатные плоскости из "Изображение химических систем с любым числом компонентов" Анализ плоских проекций некоторых четырехмерных фигур, образование которых было подробно описано ранее [6], приводит к следующим выводам. [c.13] Проекции одной и той же геометрической фигуры на различные координатные плоскости (при любом избранном расположении фигуры относительно координатных осей) различаются по степени наглядности и практической пригодности для изображения соответствующих пятерных систем. Эти отличия обусловлены направлением проектирующих лучей по отношению к ребрам и граням фигуры. Возможны следующие типы проекций. [c.13] Так как лучей, не параллельных определенному направлению, может быть бесчисленное множество, то подобных моделей и их плоских изображений для каждой четырехмерной фигуры также может быть очень много. Однако все такие проекции будут относиться к одному и тому же типу, для которого характерны следующие черты. [c.14] Проекции первого типа позволяют, во-первых, судить о строении системы, которая изображается при помощи соответствующей фигуры, т. е. о числе и характере одно-, двух-, трех- и так далее компонентных систем, входящих в ее состав во-вторых, эти проекции позволяют качественно оценить структуру системы, т. е. наличие в ней тех или иных фаз, образующихся при различных соотношениях компонентов. Однако для каких-либо количественных определений проекции первого типа совершенно непригодны. [c.14] Второй тип. Проекционные лучи параллельны одному из ребер четырехмерной фигуры (или нескольким параллельным между собой ребрам). Очевидно ребро (или ребра), по отношению к которому проекционные лучи параллельны, в проекции будет сжато до нуля, а обе его вершины сольются в одну. [c.14] Все грани, включающие такое параллельное ребро, превратятся в прямые линии, а все трехмерные ячейки, в состав которых они входят,— в плоские грани. [c.14] Однако в исходной четырехмерной фигуре имеются и другие ребра, которые останутся непараллельными проекционным лучам. Все они, а также грани и ячейки, образованные только такими непараллельными ребрами, отразятся на чертеже точно так. [c.14] Если от четырехмерных фигур обратиться к пятерным системам, которые изображаются при помощи таких проекций, то можно обнаружить следующее. Для систем первого класса из пяти компонентов несколько более удобна проекция 4, б, хотя на ней только три из компонентов системы представлены в отдельности, но в данном случае создается возможность более правильного суждения о примерных границах областей кристаллизации большинства фаз системы. [c.15] Для количественных расчетов все проекции второго типа мало пригодны как ввиду неодинакового сжатия элементов фигуры, так особенно ввиду наложения отдельных ее частей, изображающих различные компоненты и различные составляющие системы. [c.17] Третий тип. Проекционные лучи параллельны одной из граней фигуры или нескольким, параллельным между собой граням. [c.17] Поскольку грань в целом, а следовательно, и каждое из образующих ее ребер параллельны проекционным лучам, все вершины этих ребер сольются на пр.оекции в одну вершину, а все ребра и сама грань вырождаются в одну точку. Все грани, смежные с этой параллельной гранью, превращаются в прямые линии, поскольку одна из их сторон (в случае треугольных граней) или две параллельные стороны (в случае квадратных граней) превратились в точки. Все ячейки, в состав которых входила эта выродившаяся в точку грань, превращаются в плоские грани. [c.17] Но в исходной четырехмерной фигуре могут быть в общем случае другие грани и другие ячейки, не имеющие с параллельной гранью общих ребер. Они, следовательно, не имеют в своем составе ребер, параллельных проекционным лучам, поэтому изображаются в проекции во всех своих элементах, подвергаясь лишь известному сжатию. [c.17] В результате проекции четырехмерных фигур третьего типа представляют собой также трехмерные модели, хотя и со значительно большим, чем в предыдущем случае, вырождением отдельных элементов. Проектируя вторично эту модель лучами, не параллельными ни одному из ее ребер, получают плоскую проекцию, полностью отражающую все геометрические элементы этой модели (рис. 7, 8, 9). [c.17] Чтобы оценить свойства проекций третьего типа, рассмотрим эти рисунки применительно к задаче изображения при их помощи соответствующих пятерных систем. [c.17] Такие проекции были названы оптимальными. [c.18] для пентатопа оптимальная проекция совпадает с единственной имеющейся у этой фигуры проекцией третьего типа. Несколько сложнее обстоит дело с четырехмерными фигурами, изображающими системы других классов. [c.18] Тетраэдрический гексаэдроид, который служит для изображения систем вида 4//2, имеет две проекции третьего типа. Одна из них (см. рис. 8, а) получена при проектировании лзгчами, параллельными одной из квадратных граней фигуры. Так как два ребра этой квадратной грани параллельны двум другим ребрам гексаэдроида, то эти ребра также параллельны проекционным лучам и поэтому на проекции вырождаются в точки. Иначе говоря, на полученной проекции происходит не только вырождение одной из граней в точку, но и вырождение двух других ребер четырехмерной фигуры, не входящих в параллельную грань. [c.18] Ах и Вх, изображаются суммарно, поскольку им отвечают вершины параллельной грани, а четыре оставшиеся соли изображаются в сумме попарно, так как В и 1, равно как и С и отвечают вершинам двух параллельных ребер. В итоге ни одна из солей системы не изображается на данной проекции в отдельности, а только в сумме с какой-либо другой солью. [c.19] Вторая проекция третьего типа (рис. 8,6) получена при проектировании тетраэдрического гексаэдроида лучами, параллельными двум параллельным между собой треугольным граням исходной фигуры. Поэтому шесть простых солей системы изображаются суммарно, по три в соответствующих вершинах проекции. Однако остальные две соли исходной системы ( и В ) представлены на рис. 8, б в виде отдельных вершин. Учитывая, что совмещенные ребра сжаты в одинаковой степени и что здесь совмещены три смежные грани, получаем все условия, необходимые для образования оптимальной проекции. [c.19] Таким образом, в случае тетраэдрического гексаэдроида для получения оптимальной проекции на координатную плоскость необходимо вести проектирование лучами, параллельными не вообще любой из его граней, но обязательно любой из его треугольных граней. В противном случае проекция третьего типа не оптимальна. [c.19] Вернуться к основной статье