ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Применение теории чувствительности для исследования и оптимизации химико-технологических процессов из "Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов" При решении задач оптимизации химико-техпологических процессов очень часто ограничения на управляющие переменные являются линейными. Так, ограничения (1,2) зачастую представляют собой простые ограничения на максимальные и минимальные значения соответствующих управляющих переменных (П,1). В схемах, как правило, имеются делители потоков , на управляющие переменные которых налагаются линейные ограничения вида (11,2). Особенно много таких ограничений в задачах синтеза (с. 18) при использовании метода структурных параметров. Конечно, для решения оптимальных задач с линейными ограничениями возможно применение общих методов, разработанных для произвольных ограничений. Однако целесообразно анализировать этот случай отдельно, поскольку, используя линейный характер ограничений, удается построить более эффективные алгоритмы. [c.190] Разберем отдельно все перечисленные алгоритмы. Будем вначале анализировать случай, когда / х) является квадратичной функцией (11,9). [c.191] Формула (IV,103) лежит в основе метода проектирования градиента [31, с. 134—135]. Ясно, что этот метод по скорости сходимости эквивалентен методам градиента и наискорейшего спуска при отсутствии ограничений. Поэтому интересно обобщить на данный случай методы переменной метрики, дающие большую скорость сходимости. [c.192] Предположим вначале, что матрица А (И,9) известна и имеет ранг п. Поставим следующую задачу пусть координаты точки х,-удовлетворяют уравнениям (1У,101), необходимо найти точку минимума функции (И,9) в Ьд. [c.192] В случае отсутствия ограничений (д = 0) вектор = 1 и формула (IV,109) приводит к методу Ньютона (Б.4). [c.193] Это соотношение выполняется тождественно для i = д по тем же причинам, что и соотношение (IV,113), а для I д — в соответствии с (IV,116). [c.194] Из (IV,120) вытекает, что вектор = —H gQ о )тогонален векторам/г, (г = 1,. . ., д). Следовательно, все точки полупрямой, начинаюш,ейся в точке х (х Ьд) н проходяш,ей вдоль вектора рц, принадлежат Ь , в частности, точка х Ьд. [c.194] Остановимся теперь на алгоритме выбора шага вдоль направления. При поиске вдоль направления может быть нарушено одно из ограничений неравенств, бывших до этого момента неактивными. Поэтому обычный алгоритм выбора шага вдоль направления, применяемый в методах безусловной минимизации, необходвмо дополнить правилом, обеспечивающим выполнение неравенств (IV,100). [c.195] Здесь а — значение отвечающее оптимальной точке на направлении р,- г — расстояние от Х1 до этой точки а, — значение а , соответствующее точке на направлении р,-, отстоящей от XI на расстоянии Я . Ясно, что если выполняется (IV,125), то базис ограничений остается без изменений если же справедливо (IV,126), то в базис ограничений вносим ограничение с номером /, для которого Ху = т. е. уравнение той гиперплоскости, на которую в результате итерационного шага (1,39) попадет изображающая точка. [c.195] ТО Z-ую гиперплоскость удаляем из базиса ограничений. [c.196] Алгоритм изменения матрицы при увеличении числа активных ограничений. Будем прежде всего предполагать, что базис при однократном изменении может увеличиваться только на одно активное ограничение (маловероятно, что изображающая точка во время поиска может сразу попасть на пересечение двух гиперплоскостей, отвечающих активным ограничениям). [c.196] Пусть также до точки х , которая лежит на прямой, проходящей вдоль вектора pf = —HtZ gk-i, проведена к — i итерация. [c.196] что матрица Н 1 должна удовлетворять соотношению (1У,116). [c.196] Следовательно,, в этом случае поисковое направление получается как результирующее двух направлений направления которое лежит в (указанное направление было бы поисковым, если бы д-ое ограничение не удалялось из базиса ограничений) и направления, коллинеарного вектору Pq фq. Этот вектор определяет сход с -го ограничения. [c.197] Переходим к шагу 5. Если выполняется (IV,126), переходим к шагу 4. [c.197] Полагаем г = г + 1 и переходим к шагу 1. [c.198] В случае, если / (х) является квадратичной функцией, этот алгоритм обеспечит решение задачи (IV,98), (IV,99), (IV,100) за конечное число итераций. Безусловно, ясно, что число итераций будет, вообще говоря, больше чем п (как при безусловной минимизации). Для применения данного алгоритма к минимизации неквадратичных функций его необходимо дополнить рядом операций, близких к тем, которые использовались в аналогичном случав в задаче безусловной минимизации (например, процедурой обно-влеппя ) матрицы Н] в некоторых ситуациях и др.). Конечно, число итераций при минимизации неквадратичных функций уже не будет конечным. [c.198] Ряд алгоритмов решения задачи (IV,98), (IV,99), (IV,100) изложен в работе [103, с. 288—300]. [c.198] Некоторые модификации алгоритма XVI. Прежде всего обсудим особенности приведенного выше алгоритма решения задачи (IV.98), (IV,99), (IV,100). [c.198] Вернуться к основной статье