ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Методы минимизации, не использующие точный линейный поиск из "Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов" Реакция (11,231) в промышленных условиях осуществляется в контактных аппаратах. Такой аппарат представляет собой многослойный каталитический реактор с встроенными между слоями и выносными теплообменниками, предназначенными для отвода реакционного тепла. На рис. 16 приведена схема распространенного на химических заводах пятислойного контактного аппарата с поддувом свежего газа после первого слоя катализатора. [c.95] Поток сернистого газа С, подаваемого на окисление, нагревается последовательно во внешнем теплообменнике, в теплообменнике после второго слоя катализатора до температуры, обеспечивающей устойчивое протекание реакции (11,231), и поступает на первый слой катализатора. Здесь реакция (11,231) проводится адиабатически (без отвода тепла) до температуры, близкой к равновесной, определяющей прекращение реакции окисления. Снижение температуры окислившегося в первом слое газа достигается добавкой (поддувом) относительно холодного сернистого газа (поток в смеситель, установленный в аппарате. [c.95] С целью управления температурным режимом контактного узла осуществляется перераспределение газовой нагрузки С на аппарат между теплообменниками (потоки С.,, добавление потока Сх с холодным газом на вход первого слоя катализатора и байпасирование части холодного газа мимо внешнего теплообменника. [c.96] Таким образом, контактный узел сернокислотного производства представляет собой сложную химико-технологическую систему, включающую слои катализатора и теплообменники и характеризующуюся наличием взаимовлияющих параметров и обратных тепловых потоков. [c.96] Математическая модель контактного узла [59, 60]. Рассмотрим математические модели элементов схемы. [c.96] Здесь Q — количество тепла, отдаваемого горячим газом С — поток теплоносителя (индексы о и в относятся соответственно к величинам потоков, отдающим и воспринимающим тепло) с — теплоемкость газа I — температура газового потока (индексы н и к относятся соответственно к начальному и конечному ее значениям) т) ( = 1) — коэффициент, учитывающий тепловые потери в окружающую среду к — коэффициент теплопередачи Р — поверхность теплообмена Ai p.л — среднелогарифмическая разность температур ф — коэффициент, учитывающий отклонение схемы движения теплоносителей от идеальной противоточной. [c.98] Здесь и далее приняты следующие обозначения (0), z( ) (0), Z — начальные и конечные значения температуры и степени контактирования для г-го ( = 1, 2,. . ., 5) слоя катализатора tan, toJ, Ibhi Ibk — начальные и конечные температуры отдающего и воспринимающего тепло потоков в теплообменнике после г-го (г = 2, 3, 4) слоя (принятые обозначения при г = 1 относятся к температурам газовых потоков для внешнего теплообменника) хол — температура газового потока G на входе в контактный аппарат. [c.99] Математическая модель контактного аппарата, включающая математическое описание слоев катализатора (11,232)—(11,236), теплообменников (11.237) — (11.239) и связей между отдельными элементами контактного узла (11.240) — (11,255), позволяет рассчитывать стационарные режимы работы аппарата при различных значениях его констрз ктивных н технологических параметров. [c.100] Рассмотренные выше методы переменной метрики предполагают нахождение точного минимума функции на каждом направлении поиска. Однако поиск с высокой точностью минимума на каждом направлении связан с вычислением значений функции в достаточно большом числе точек, что приводит к значительному увеличению затрат времени ЭВМ на решение задачи. Поэтому в последнее время был развит ряд поисковых методов, не требующих точного линейного поиска. Упомянутые методы можно разделить на две группы. К первой относятся методы, в которых, несмотря на отсутствие точной одномерной минимизации, минимум квадратичной функции достигается за конечное число шагов. Ко второй группе относятся методы, не обладающие указанным свойством. Здесь рассмотрен только один представитель последней группы методов (см. с. 113). Основное же внимание уделено первой группе методов, которую удобно разбить на две подгруппы методы сопряженных направлений без точного линейного поиска и квазиньютоновские методы без точного линейного поиска. [c.102] делая на каждой итерации произвольный шаг вдоль направлений р,-, мы с помощью процедуры (11,262) —(11,264) придем к минимуму функции / (х). [c.103] Легко видеть, что первый подход с точки зрения количества вычислений предпочтительнее второго. Действительно, в первом случае весь итерационный процесс потребует п + 1 вычислений градиента, в то время как во втором случае потребуется 2п раз считать градиент, поскольку на каждом направлении его необходимо будет рассчитывать в двух точках. [c.103] Если процедура (11,265) заканчивается за А п шагов, то и процедура (11,267) также заканчивается за к шагов. [c.104] Остановимся теперь на способе построения сопряженных направлений, не требующих точного линейного поиска. Из описанных ранее методов можно применить процесс построения сопряженных направлений, использующий процесс ортогонализации Грамма — Шмидта (11,66), (11,67), (11,69) или тождественный ему процесс с проекционной матрицей (11,60), (11,64). [c.104] Приведенные выше результаты можно использовать для построения ряда алгоритмов нахождения (локального) минимума произвольной дифференцируемой функции. Правда, здесь уже не гарантируется сходимость к минимуму за конечное число шагов. [c.104] получено направление метода Ньютона. [c.105] Алгоритмы, основанные на использовании такого подхода, предлагались в работах [64, 66]. Однако построение вектора р требовало в этих работах формирования некоторой дополнительной матрицы. [c.105] Эти алгоритмы не дали ожидаемых результатов, наиболее эффективным оказался алгоритм V [68], в котором на каждом направлении р осуществлялась параболическая интерполяция (строилась только одна парабола) и нри I = п делался завершающий шаг. [c.106] Наряду с алгоритмами IV и V возможны алгоритмы, отличающиеся от приведенных тем, что векторы р вычисляются не по формуле (11,60), а определяются из (11,66), (11,67), (11,69). [c.106] В связи с этим может быть предложен следующий алгоритм. На каждой итерации (11,262) = 0, 1.п — 1 направленияр,-определяются с помощью формулы (1,41), в которой Я удовлетворяет уравнению (11,118), а вектор у,- — соотношениям (11,124), причем конкретно вектор у,- можно взять в виде (11,132), (11,137), (11,139). Следующая точка на п-ом шаге находится с помощью формулы (11,271). В самом деле, выполнение соотношения (11,124) обеспечивает сопряженность поисковых направлений, а как было показано (см. с. 37), сопряженные направления являются линейно независимыми. Отсюда на п-ож шаге данный алгоритм позволит получить обратную матрицу А . [c.107] Рассмотрим теперь другой подход. Пусть имеется итерационный процесс с точным линейным поиском (11,265). где а определяется из условия / [xi + t p ) = min / х -j- ap ). [c.108] Вернуться к основной статье