ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Свойства и методы сопряженных направлений из "Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов" Заметим, что согласно (П,11), знаменатель этого выражения отличен от нуля. [c.36] Таким образод , если матрица Д О, равенство (р,., g ) = О может быть только в том случае, если g = 0. [c.36] Равенства (П,21)—(11,23) будем называть соотношениями сопряженности. [c.37] В соответствии со свойством (И,25) сопряженных направлений получим, что сумма, стоящая в правой части этого соотношения, будем равна нулю отсюда и следует соотношение (11,34). [c.38] Рассмотрим теперь общий случай, когда точки смены направлений не оптимальны. [c.39] Таким образом, если при определении минимума функции / поисковые направления являются сопряженными, но точки смены направлений не оптимальны, потребуется сделать п + 1 шаг для определения минимума функции /. [c.40] Заметим, что соотношение (11,47) справедливо лишь для квадратичных форм, поэтому все выводы, в которых применяется это выражение, верны только для квадратичных форм. [c.40] Построение алгоритмов минимизации, использующих свойства сопряженных направлений. Здесь мы рассмотрим только алгоритмы, требующие нахождения оптимальной точки на каждом направлении. [c.40] Рассмотрим вначале случай минимизации квадратичных функций. При построении алгоритмов минимизации функций многих переменных (ф. м. п.) необходимо обеспечить выполнение либо соотношений (11,21)—(11,23), либо соотношений (11,24)-(П,26), (11,27)-(П,29). [c.40] Эти формы записи соотношений сопряженности совершенно эквивалентны, тем не менее последняя форма записи имеет то преимущество, что в ней не учитывается явно матрица А. Это дает возможность строить алгоритмы, не использующие знание коэффициентов матрицы А. Поэтому примрм, что алгоритмы минимизации ф. м. п. должны будут обеспечивать выполнение соотношений (11,24)—(11,26). [c.41] Остановимся еще на вопросе точности нахождения оптимальной точки на каждом направлении. Нахождение с большой точностью такой точки на каждом направлении может потребовать чрезмерно большого количества вычислений целевой функции. Вычислительная практика также показывает, что нецелесообразно с большой точностью находить упомянутую оптимальную точку на каждом направлении. Правда, при неточном нахождении ее число направлений может оказаться большим, чем п (если не применять специальных мер), но с точки зрения общего количества вычислений это может оказаться выгодным. [c.41] Конечно, при применении алгоритмов, использующих свойства сопряженных направлений, для минимизации произвольных функций мы теряем основное свойство — возможность нахождения минимума функции за п шагов. В связи с этим возникает следующая проблема. [c.42] Таким образом, нри нервом способе построения векторов в каждой точке учитывается предыстория при втором же способе в точках I — кп (где к — целое) происходит как бы обновление метода. Поэтому подобные алгоритмы будем называть алгоритмами с обновлением. Операция обновления может потребоваться и в других случаях. На этом мы остановимся ниже при описании конкретных алгоритмов. [c.43] при построении алгоритма минимизации на основе данного подхода в качестве матрицы Н должна быть взята матрица Р . Матрицу называют проекционной, так как р, является проекцией — , на С. [c.44] Умножив (11,63) скалярно на р,-, найдем С (г/у, р,) = 0. Поскольку (г/у, ру) О [см, (11,26)1, величины Су = О для любого /. [c.44] На основе описанного построения сопряженных направлений можно получить ряд алгоритмов. Прежде чем перейти к их подробному описанию, заметим, что для неквадратичных функций может не выполняться линейная независимость уо,. . ., Нетрудно показать, что линейная зависимость этих векторов приводит к равенству е,- = О, если определяется с помощью процесса ортогонализации, или к Р,-.]Уг i=0, если р, находится из (П,60), (11,64). [c.45] Рассмотрим теперь конкретные алгоритмы, построенные на использовании проекционной матрицы. [c.45] Подставляя выражение для х из (11,73) и используя (11,74), можно легко убедиться в справедливости (11,72). Отсюда ясен смысл выбора матрицы Р в виде (11,70) на шаге I = кп к — целое число). Если функция близка к квадратичной, то в соответствии с (11,71) матрица Р,- (11,70) будет близка к обратному Гессиану. Следовательно, применение ее может дать направление, близкое к направлению метода Ньютона [см. (Б.8)]. [c.46] Необходимо отметить, что условие (11,52) обеспечивает выбор такого направления С, нри котором угол между градиентом и вектором р наименьший. Последнее ценно с точки зрения устойчивости метода. [c.46] Если (11,75) выполняется, то следует положить I = 0, ро = — гсо = и продолжить итерационный процесс. [c.47] Вернуться к основной статье