ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Оптимизация химико-технологических процессов с помощью квадратичных методов из "Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов" излагающей методы решения задач минимизации с ограничениями, рассматривается именно общая задача нелинейного программирования. [c.24] Такил образом, выполнение одной ( -ой) итерации (или шага) в конкретном алгоритме спуска заключается в нахождении направления спуска р,- и точки ж,- +1 на данном направлении. [c.25] Выбираются некоторая начальная точка в Е , вектор о 6 Е положительно определенная (п X д)-ма-трица Я . [c.26] Зависимость р от некоторых групп переменных в (1,42), например, VI, у, 1,. . . ( , С( 1,. . . может отсутствовать. [c.26] Если существует явная зависимость от предыдущих точек XI 1,. .. или парал1етров, вычисленных в этих точках, подобный поисковый метод называется методом с памятью. Если же вектор направления р,- явно зависит лишь от параметров, вычисленных в точке а ,, соответствующий метод называется методом без памяти. [c.26] В зависимости от значения максимального порядка производных, входящих в (1,42), алгоритмы минимизации относятся соответственно к методам нулевого, первого и второго порядков. В методах нулевого порядка предусматривается такое построение последовательности р, , при котором используется лишь информация о значениях минимизируемой функции в различных точках. [c.26] Последовательность матриц Я,- в этом случае определяется характером применяемого метода, причем Я,- могут зависеть от производных функции f х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,- в (1,43) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Я,- = т. е. [c.27] Достаточным условием выполнения (1,45) является положительная определенность матриц Я,- — неотъемлемое свойство целого ряда обсуждаемых ниже алгоритмов. [c.27] Иногда полагают а,- = onst, если удовлетворяется (1,47). Шаг 3. Вычисляют Xi + i = х + тя. gi + i = g (а ,- +1) (в градиентных методах). Полагают i - i - - 1 и переходят к шагу 1. [c.27] Методы определения +1, Я,- +1 нри переходе г -у I -I- 1 составляют предмет изложения в последующих главах книги. [c.28] Точки XI перехода на следующее направление определяются с помощью (1,48), т. е. а, = Привлекательн()й чертой этого метода является простота реализации, однако недостатки его общеизвестны метод обладает линейной скоростью сходимости — даже для квадратичной функции минимизации процесс поиска ее минимума теоретически бесконечен для функции с сильно вытянутыми линиями уровня (изолиниями) процесс поиска носит явно выраж нный зигзагообразный характер и дает слабое продвижение к минимуму точное нахождение минимума практически нереально. [c.28] Значительная часть описываемых в книге методов минимизации относится к группе квадратичных методов, основанных на аппроксимации минимизируемой функции в точке ее минимума квадратичной формой. [c.28] Среди методов решения задач с ограничениями следует прежде всего отметить методы последовательной безусловной минимизации (гл. IV). Возросший интерес к ним связан, но-видимому, с появлением в последнее десятилетие достаточно эффективных квадратичных методов безусловной минимизации. [c.28] Суть методов последовательной безусловной минимизации, как известно, заключается в построении на основе минимизируемой функции и функций ограничений некоторого семейства функций, зависящих от параметров. Находится безусловный минимум (или экстремум) каждой функции этого семейства при фиксированных значениях параметров. Оказывается, что при некоторых условиях последовательность полученных решений задач без ограничений сводится к решению исходной задачи при соответствующем изменении параметров семейства функций. [c.28] Однако для решения задач минимизации с линейными ограничениями на поисковые переменные целесообразно применять определенные модификации методов безусловной минимизации, обеспечивающие непосредственный учет ограничений в рамках этих методов введением соответствующих проекционных операторов. Ряд указанных методов представлен в гл. IV. [c.29] Алгоритмы 3, 4 и, как правило, 5 можно назвать алгоритмами стратегии поиска. [c.29] В связи с большой размерностью, трудоемкостью задач оптимизации сложных химико-технологических схем требуется высокая эффективность перечисленных основных алгоритмов поисковых методов. Рассмотрим их с этой точки зрения. [c.29] Известно, что расчет критерия оптимизации сводится к расчету статического режима схемы [12, с. 131. Повышение эффективности алгоритмов расчета статических режимов схем достигается применением эффективных методов решения систем нелинейных уравнений, а также использованием методов структурного анализа. Эти вопросы были подробно изложены в монографиях [И, 12]. [c.29] Качественные оценки надежности и быстродействия алгоритма обычно определяются по результатам минимизации известного набора тестовых функций. Для большей части излагаемых алгоритмов в соответствующих местах книги приведены таблицы с этими результатами. Если специально не оговаривается, производные тестовых функций вычисляются аналитически. Кроме того, для краткости, в таблицах в графе функция приведены порядковые номера тестовых функций согласно Приложению Г. [c.30] Вернуться к основной статье