ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Геометрическая интерпретация деформации. Тензор больших деформаций из "Реология полимеров" В общем случае перемещение точек тела в пространстве складывается из поступательного движения тела как целого (этому отвечает перемещение точки А, рассматриваемой как начало отсчета, относительно неподвижной системы координат), вращения тела относительно некоторого центра (таким центром может быть условно принята точка А) и деформации — и зменения расстояний между точками в теле. Таким образом устанавливается различие между перемещениями тела, не сопровождающимися изменением расстояний между точками в нем, и деформацией, в результате которой изменяются длины отрезков, соединяющих точки тела. Строго это положение формулируется в виде так называемой теоремы Гельмгольца. [c.24] Движение тела в пространстве как целого и его вращение относительно тех или иных точек не входит в предмет реологии оно изучается в теоретической механике. Для последующего изложения интерес представляют только деформации — относительные смещения точек в теле (или, точнее, в сплошной среде). [c.24] Рассмотрение изменений расстояния между двумя точками должно проводиться применительно к бесконечно малому элементу объема. [c.24] Остальные величины гц имеют аналогичное строение с соответствующей очевидной заменой индексов. [c.26] Величины гц являются характеристиками деформации среды в окрестности данной точки достаточно, чтобы хотя бы одна из величин ец была не равна нулю, чтобы имело место изменение длины линейного элемента АВ. Справедливо и обратное если все величины равны пулю, то ds = ds, что эквивалентно отсутствию деформации при перемещении точек среды в пространстве. [c.26] Рассмотренные на примере тензора напряжений некоторые результаты теории тензоров вполне применимы и к тензору больших деформаций. В частности, это относится к понятию главных значений тензора больших деформаций и отвечающих им трех взаимно перпендикулярных направлений в трехмерном пространстве. Это же касается и приведенных для плосконапряженного состояния формул преобразований компонент при повороте координатных осей соответствующие формулы при замене ац на у// остаются вполне справедливыми и для тензора больших деформаций. Наконец, совершенно аналогично тому, как это сделано в формулах (1.7) — (1.9), могут быть построены инварианты тензора больших деформаций, которые обозначим У , и Е . [c.27] Таким образом, относительное изменение длины любого отрезка 5 в некоторой точке определяется компонентами тензора деформации у а и зависит от ориентации этого отрезка в пространстве. Очевидно, что в еличины у ц действительно определяют значение е (но не равняются ему). [c.28] Ориентируем координатные оси параллельно направлениям главных деформаций, т. е. вдоль главных удлинений, которые в этом случае выразятся также по формуле (1.15), ибо эта формула справедлива для любой системы координатных осей. Используя общие правила нахождения главных значений тензоров, можно показать , что главные относительные удлинения выражаются через компоненты у а точно так же, как через увыражаются инварианты тензора больших деформаций. Отсюда вытекает, что по своему физическому смыслу величины и. 3представляют собой относительные главные удлинения в данной точке среды. Поскольку инварианты тензора не зависят от ориентации координатных осей, то и относительные главные удлинения являются характеристиками деформации, не связанными с выбором координатной системы это отвечает физическому представлению о деформации, поскольку очевидно, что само понятие о деформации и происходящих при этом геометрических изменениях в точке не связано с выбором той или иной координатной системы. [c.28] Определение главных относительных удлинений позволяет получить очень наглядную картину деформации в окрестности данной точки. [c.28] Таким образом, относительное изменение объема зависит от инвариантов тензора деформаций и, следовательно, не связано с выбором координатных осей, что отвечает физическому существу дела, ибо, разумеется, изменение объема должно быть характеристикой деформации, инвариантной по отношению к выбору координатных осей. [c.29] Вернуться к основной статье