ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Волновое течение пленки из "Массоперенос в движущихся плёнках жидкости" Очевидно, что, поскольку все величины в уравнениях (3.3) вещественны, решения уравнений (3.5) являются комплексно сопряженными. Волновое число будет обозначаться далее как п = 2лД, где X — длина волны возмущения. [c.49] Пример кривой нейтральной устойчивости для развитого течения Пуазейля. [c.50] Область а вне кривой соответствует параметрам возмущений, затухающих во времени. При Не Кесг возмущения с любыми длинами волн всегда будут затухать. Во всех других случаях можно говорить об устойчивости и критических числах Рейнольдса по отношению к волнам определенной длины волны. Возмущения с длинами волн, соответствующими области Ь, будут расти со временем. Сплошная кривая отвечает условиям нейтральной устойчивости течения с постоянными волновыми параметрами. Следует предостеречь, что определение критических чисел Рейнольдса следует проводить как можно тщательнее с учетом особенностей исследуемого течения в каждом частном случае — профиля скорости, граничных условий и геометрии течения. [c.50] Сравнение уравнений (3.5) и (3.9) показывает, что они различаются лишь наличием в последнем параметра . Из этого следует, что устойчивость течения к трехмерным волновым возмущениям описывается теми же самыми уравнениями, что и в случае двумерных возмущений, однако для жидкости с иной кажущейся кинематической вязкостью. В случае 1/о = О может быть применена теорема Сквайра [88]. Согласно этой теореме, наименьшее критическое число Рейнольдса для определенного типа течения существует при 2л/Я,2 = 0, т. е. для случая двумерных возмущений. Этот результат показывает, что практически достаточно изучить лишь устойчивость по отношению к двумерным волновым возмущениям, поскольку именно этот случай дает нижний предел критического числа Рейнольдса. [c.51] Последнее приближение справедливо лишь в случае малых амплитуд и инкрементов. При 2яД/ = О получают соотношение для нейтрально устойчивых волновых возмущений [89, 90]. [c.51] Подставляя (3.11) в уравнение Навье — Стокса и пренебрегая нелинейными членами, получаем уравнение Орра — Зоммерфельда (3.7). Как было замечено выше, приближенное уравнение (3.11) справедливо, когда малы амплитуды и длины волн. В этом случае понятия полной и конвективной неустойчивости эквивалентны. [c.52] Полученное уравнение Орра — Зоммерфельда с соответствующими граничными условиями используется в рамках линейной теории устойчивости для определения волновых параметров [90—93]. [c.52] Подстановка (3.12) в (1.1) — (1.2) приводит к задаче определения волновых параметров и коэффициентов членов ряда. Этот метод будет разработан в параграфе, касающемся полностью развитых волновых течений. [c.52] Очевидно, что течение пленки по вертикальной подложке (V = 90°) всегда неустойчиво к произвольным возмущениям, т. е. Яесг = 0. Анализ уравнения (3.13) и результаты. [c.53] Для фиксированных чисел Рейнольдса получаются зависимости, показанные на рис. 3.3. [c.54] Очевидно, что в случае пленочных течений, вообще говоря, некорректно говорить о критическом числе Рейнольдса или Вебера. Эти критические значения связаны с возмущениями, свойствами жидкости, наклоном стенки и т. д. Этот факт может объяснить расхождение в значениях критических чисел Рейнольдса, зафиксированных различными исследователями. [c.54] И Цзяшунь [94], опираясь на теорему Сквайра, изучил проблему устойчивости безволнового пленочного течения относительно трехмерных возмущений. Он нашел, что для этого достаточно исследовать проблему двумерной устойчивости. [c.54] Все результаты, о которых шла речь выше, основывались на линейной теории устойчивости. В действительности же, как легко наблюдать, волны на поверхности пленки имеют достаточно большую амплитуду. В этих условиях некорректно пренебрегать нелинейными членами в уравнениях движения. Это является причиной несовпадения экспериментальных данных с выводами теории. Недостатки линейной теории устойчивости преодолеваются исследованием нелинейных волновых течений. [c.54] Коэффициент К определяют, исходя из функций ф] и Ф2. Второе из уравнений (3.17) показывает, что учет нелинейных взаимодействий в теоретической формулировке проблемы устойчивости позволяет вычислить амплитуду стабилизированных волн. Такой результат не может быть получен в рамках линейной теории, поскольку последняя описывает лишь начальную фазу формирования волн и турбулентности. При К— О уравнения (3.17) дают как частный случай результаты линейной теории. [c.55] Весьма важным результатом, полученным в работе [97], является предсказание существования сверхкритических устойчивых волн на поверхности пленки. Содержание этого понятия проиллюстрировано на рис. 3.4. [c.56] Область, ограниченная осью ординат и кривой нейтральной устойчивости (а, = 0), соответствует затухающим волнам. В области А, ограниченной линиями а,-= О и й = О, возможно появление сверхкритических устойчивых волн с инкрементом, равным нулю, как это следует из уравнений (3.17). Область А О соответствует только растущим возмущениям. 8-образные кривые в области а,- О, О соответствуют различным сверх-устойчивым волнам. Ясно, что нелинейные взаимодействия в пленочном течении способствуют стабилизации потока. [c.56] Очень интересным выводом этой работы является обнаружение зависимости амплитуд волн от фазовой скорости. Последняя может, вообще говоря, превышать предельное значение, даваемое теорией Капицы и линейной теорией, а именно 3 при распространении по поверхности пленки длинных гравитационных волн. Эти результаты графически представлены на рис. 3.5. [c.57] Левая ветвь кривой A=f ar) соответствует волнам малых длин (капиллярным волнам). Уменьшение фазовой скорости при росте амплитуды наблюдалось экспериментально [100]. Профили длинных воли, полученные в работе [99], характеризуются крутыми гребнями и мелкими, но длинными впадинами, как это и наблюдалось в работе [110]. [c.57] Амплитуды контролируемых возмущений, распространяющихся по поверхности пленки, были измерены Крантцем и Го-реном [90]. Эти экспериментальные данные показывают, что стабилизированные амплитуды удовлетворительно коррели-руются с помощью параметра (We/Re) (1,2 Re — tgv) . [c.57] В предыдущих параграфах было показано, что вертикальное безволновое течение всегда неустойчиво. Это означает, что не существует такого минимального значения числа Рейнольдса, ниже которого течение устойчиво по отношению к любым возмущениям. Это является следствием главным образом существования межфазной поверхности газ — жидкость, свободной от напряжений. С другой стороны, присутствие на жидких поверхностях поверхностно-активных веществ ведет к затуханию волн. Это явление объяснено в работе [63] упругостью поверхности, вызванной адсорбцией молекул поверхностно-активного вещества на межфазной поверхности. В случае нерастворимых поверхностно-активных веществ адсорбционный слой подобен ква-зитвердой пластине, основная форма колебания которой не резонирует с колебаниями поверхности жидкости. Очевидно, что наличие такой кажущейся твердой поверхности будет оказывать на течение стабилизирующее действие. [c.58] Вернуться к основной статье