ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Экспериментальное определение коэффициента эффективной диффуМодель послойной отработки из "Массообменные процессы химической технологии" Эффективная диффузия. В реальных материалах существует сложная система многочисленных пор неправильной геометрической конфигурации. Модельные представления о течении вязких сред по такой системе капилляров оказываются полезными лишь для весьма упрощенной оценки различных эффектов переноса. Для пористых материалов теоретический анализ процессов тепло- и массопереноса в настоящее время не представляется возможным и поэтому естественным оказывается объединение всех возможных элементарных видов переноса массы целевого компонента в виде некоторого единого эффективного массопереноса. При этом существенно, что большинство элементарных видов переноса имеет градиентный характер. [c.50] Существенно, что коэффициент эффективной диффузии Оэ зависит не только от физико-химических свойств перемещающейся среды, температуры и общего давления, но в значительной степени и от капиллярно-пористой структуры материала, что следует из зависимости больщинства элементарных видов переноса вещества от размеров капилляров. [c.50] Решение дифференциального уравнения (1.43) второго порядка возможно при наличии необходимого количества условий однозначности. При анализе большинства технических массообменных задач начальным условием является известное распределение концентрации целевого компонента в объеме капиллярно-пористого тела в некоторый момент времени, принимаемый за начальный С х=а —С х, у, г) в простом случае равномерного распределения С г=о = Со. [c.51] С общих физических позиций более конкретным является совместное рассмотрение концентрационных полей внутри ка-пилляро-пористого тела и в потоке, прилегающем к поверхности материала. На самой поверхности тела при таком совместном анализе формулируются усложненные граничные условия четвертого рода, согласно которым должны существовать равновесное соотношение концентраций в обеих фазах на границе их контакта и равенство потоков компонента в пределах той и другой фазы по обе стороны от границы. Такого рода сопряженные задачи рассматриваются в теории теплообмена [4]. Однако трудности теоретического анализа задач тепло- и массообмена в такой общей постановке настолько значительны, что в практике технологических расчетов результаты анализа сопряженных задач использованы быть не могут, поэтому основой теоретических методов для задач тепло- и массообмена в настоящее время являются аналитические решения дифференциального уравнения переноса внутри твердых тел с граничными условиями третьего рода на наружной поверхности. При этом коэффициент массообмена р должен быть известен либо из независимых теоретических решений задачи внешнего массообмена, либо его значение рассчитывается по соотношениям, обобщающим соответствующие экспериментальные данные. [c.52] Уравнение (1.43) может быть решено в замкнутой форме лишь при некоторых, искусственных формах зависимости коэффициента Дэ от внутренней координаты внутри тела классической формы такого рода решения по существу не имеют практического значения, поскольку трудно представить себе ка-пиллярно-пористый материал, в котором внутренние массопроводные свойства изменялись бы в зависимости от внутренней координаты по закону (например, линейно или по экспоненте), который допускал бы аналитическое решение параболического уравнения в частных производных второго порядка [5]. [c.52] Классический метод разделения переменных Фурье состоит в том, что решение нестационарной задачи для распределения концентрации целевого компонента в неоднородном теле ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а другая — от координаты. Использование такого проекта решения приводит к разделению уравнения в частных производных (1.45) на два дифференциальных уравнения в полных производных, каждое из которых, как правило, сравнительно легко решается, после чего общее решение оказывается возможным представить в виде бесконечного сходящегося ряда, коэффициенты которого определяются из начального условия задачи. [c.53] Неравномерное, но симметричное начальное распределение концентрации в теле не приводит к принципиальным затруднениям при получении решения методом разделения переменных, при этом лишь приходится вычислять определенный интеграл от начального распределения, умноженного, как правило, на тригонометрическую функцию или функцию Бесселя для тел цилиндрической формы. Для сложных видов начального распределения интеграл может быть вычислен любым из имеющихся приближенных методов. [c.53] Метод разделения переменных приводит к удобному для практических расчетов решению, если интерес представляет результат для достаточно больших значений диффузионного критерия Фурье Род = Оэх1Я , при этом ряды в решениях сходятся достаточно быстро. [c.53] В тех случаях, когда необходимы расчеты нестационарных концентрационных полей для малых времен от начала массообменного процесса (точнее — для малых значений критерия Фурье), лучшую структуру результатов дает интегральный метод решения уравнения в частных производных (1.45). [c.53] Сущность метода состоит в интегрировании уравнения (1.45) по одной из переменных после умножения на соответствующее ядро интегрального преобразования. Так, при умножении на ехр(—рт), где р — некоторое произвольное комплексное число, и интегрировании по времени от нуля до бесконечности (преобразование Лапласа) уравнение (1.45) преобразуется в уравнение в полных производных, но относительно некоторой новой искомой функции — изображения искомой концентрации, которое оказывается функцией только координаты. После аналогичного интегрального преобразования граничных условий определяется вид дифференциального уравнения для изображения и его правая, неоднородная часть, получающаяся из функции, соответствующей неравномерному начальному распределению концентрации в твердом теле. Неоднородное уравнение решается, после чего совершается обратный переход от изображения к искомой концентрации целевого компонента. Основная трудность при использовании метода интегральных преобразований состоит в математической процедуре этого обратного перехода. Правда, в большинстве стандартных случаев оказывается возможным использовать существующие таблицы обратного перехода, но в общем случае необходимо совершать операцию вычисления контурного интеграла на комплексной плоскости [5]. [c.54] При сложном виде начального распределения концентрации метод интегрального преобразования оказывается сложнее метода разделения переменных настолько, насколько решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка сложнее вычисления определенного интеграла. [c.54] Третий метод—метод функции влияния (функции Грина)— используется для решения задач для безграничных тел с внутренними источниками (стоками) массы целевого компонента. Такие условия сравнительно редки в массообменных технологических процессах. [c.54] Ниже приводятся некоторые наиболее простые решения, получаемые методом разделения переменных при однородных начальных распределениях концентрации в телах классических форм. [c.54] Правая часть решения (1-46) изменяет знак на противоположный в случае q, т. е. когда твердая фаза поглощает целевой компонент из окружающей среды. [c.55] Здесь x — корни характеристического уравнения /о(ц)//) (ц) = ц/Bi /о и /i—функции Бесселя (цилиндрические функции) действительного аргумента нулевого и первого порядка, соответственно, численные значения которых подробно представлены в математических справочных данных. [c.55] В случаях, когда интенсивность внешней массоотдачи по сравнению с интенсивностью внутреннего переноса целевого компонента настолько велика, что наружное диффузионное сопротивление можно считать отсутствующим, характер граничного условия на наружной поверхности материала изменяется. Действительно, при р- оо, что соответствует условию Bi oo (практически Bi 50), из граничного условия (1.44) следует, что Сгр С/, т. е. на поверхности тела фактически оказывается заданной концентрация компонента в окружающей среде f. [c.56] Решения (1.46)— (1.51) аналогичных задач нестационарного массообмена в телах классических форм при граничном условии первого рода Сгр = могут быть преобразованы предельным переходом Bi oo. При этом характеристические уравнения задач упрощаются до sin ц = О для тел плоской и сферической формы и 7o( i) = 0 для цилиндрических тел соответственно изменяются спектры собственных чисел задач. Упрощается и структура коэффициентов в решениях (1.46) — (1.51). [c.56] Может быть показано, что для изотропных материалов (т. е. имеющих одинаковые значения коэффициентов эквивалентной диффузии во всех направлениях), форма которых представляет собой комбинацию простейших тел (прямоугольные параллелепипеды, цилиндры конечной высоты, усеченные сферы), решение задачи о нестационарной диффузии является произведением решений для тел исходных форм. При этом размеры тел и условия на наружных поверхностях по различным координатам могут быть неодинаковыми. Например, нестационарные поля концентрации внутри цилиндра ограниченной высоты есть произведение решений для бесконечного цилиндра и для тела плоской формы, толщина которого равна высоте цилиндра. [c.56] Относительно просто решается задача о нестационарной диффузии от наружной массообменной поверхности в тело настолько значительной толщины, что концентрационное возмущение за рассматриваемое время процесса практически не успевает достигнуть противоположного конца тела (при двухсто-ронне.м массообмеие — центра тела). Такая постановка задачи означает, что анализу подлежат нестационарные профили, развивающиеся лишь в непосредственной близости от наружной поверхности тела. [c.56] Значительное количество задач нестационарной диффузии (или аналогичных задач нестационарной теплопроводности) рассматривается в специальной литературе [4, 5, 7]. [c.57] Вернуться к основной статье