ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Определение оптимальных габаритов и режима работы отдельной колонны из "Разделение многокомпонентных смесей" В литературе практически отсутствуют статьи, посвященные оптимальному проектированию ректификационных установок, состоящих из нескольких колонн. Только в самое последнее время появились работы, в которых рассматриваются указанные вопросы однако и 3 них авторы не идут дальше общей постановки задачи. В одной из статей предлагается применить метод динамического программирования для отыскания оптимальных параметров цепочки ректификационных колонн. При этом для уменьшения числа входных переменных в каждой колонне многокомпонентная смесь сводится к четырехкомпонент-ной путем объединения между собой соответственно всех компонентов легче легкого ключевого и всех компонентов тяжелее тяжелого ключевого. [c.129] Прежде чем перейти к изложению отдельных задач оптимального проектирования, необходимо хотя бы коротко коснуться основных. математических методов оптимизации. К классическим методам решения экстремальных задач относятся методы дифференциального и вариационного исчислений. С помощью дифференциального исчисления можно решать дискретные задачи (т. е. задачи с конечным числом параметров) как при отсутствии ограничений, так и при наличии ограничений типа равенств (метод множителей Лагранжа) . [c.129] Большинство практических задач оптимизации не может быть решено методами классического дифференциального и вариационного исчислений, В последние годы получили развитие новые методы, сильно расширившие круг решаемых экстремальных задач. К ним относятся линейное, нелинейное и динамическое программирование и принцип максимума Понтрягина. [c.129] В дискретных задачах динамическое программирование дает возможность заменить выбор одновременно большого числа параметров серией выборов меньшего числа параметров. Это позволяет в ряде случаев преодолеть так называемый барьер многомерности . [c.130] Главный недостаток метода состоит в том, что его можно использовать только для специальных видов оптимизируемых процессов и функций. Метод неприменим, если при оптимизации многоступенчатых процессов условия в каждой ступени влияют на оптимальный выбор параметров, не только в пО Следующих, но и в предыдущих ступенях. [c.130] Другой подход к решению многих задач математического программирования дает принцип максимума Понтрягина . [c.130] Как динамическое программирование, так и принцип максимума применялись для решения различных дискретных и непрерывных задач химической технологии. Принцип максимума, в частности, был использован при оптимизации отдельных реакторов и их каскадов , перекрестно-поточной экстракционной установки - , а также при оптимизации процесса периодической бщ а рной ректи ф икаци и . [c.130] В настоящее время большинство аналитических методов решения экстремальных задач обобщены и сведены Дубовицким и Милютиным в одну теорему, которую можно назвать основной теоремой математического программирования. Из нее, как следствия, вытекают все основные теоремы вариационного исчисления, принципа максимума, линейного и нелинейного программирования. [c.130] Задачи опти.мизации ректификационных установок характеризуются в большинстве случаен сложны.м алгорнтмом вычисления целевой функции (как правило, процесс вычисления является итерационным), а также наличием большого числа независимых переменных и ограничений. Поэтому для решения таких задач наибольшее значение приобретают численные методы нелинейного и динамического программирования. Поскольку указанные методы нашли применение в настоящей работе, ниже дается их краткое описание. [c.130] По методу быстрейшего спуска , перемещение вдоль одной оси заменяется движением в направлении градиента. Варианты этого метода отличаются Друг от друга способами определения направления движения (т. е. вычисления частных производных, если функция аналитически не задана) и величины шага, а также критериями окончания операции поиска. [c.131] В задачах со многими переменными целесообразно, особенно на первом этапе, определять частные производные грубо, с использованием наименьшего объема вычислений (минимальное количество вычислений для функции п переменных при определении градиента равно п+1). Градиент также целесообразно вычислять НС для каждого шага, а тольки после того, как при движении в прежнем направлении перестает увеличиваться целевая функция. [c.131] Величину шага в процессе поиска, как правило, меняют с учетом не только значений частных производных, но и результатов предыдущего поиска. С приближением к оптимуму величина шага уменьшается . Для уточнения положения оптимальной точки применяют иногда факториальный метод определения производных, вычисление градиента на каждом шаге, квадратичную аппроксимацию. В некоторых случаях производится нормализация как независимых переменных, так и величины шага . Каждую переменную относят к своему интервалу изменения, а частные производные — к длине градиента или модулю максимальной частной- производной. Критерий окончания поиска — получение достаточно малого шага по всем переменным или достаточно малое изменение целевой функции между двумя вычислениями градиента. [c.131] Расчет по этому методу сходится лучше всего, если поверхности уровня близки к оферическим. Следовательно, большое значение имеет правильный выбор масштабов по осям независимых переменных, что затрудняет применение метода. Недостатком метода является также экстраполяция частных производных. Все это приводит, в частности, к плохой сходимости вблизи крутых гребней текущая точка начинает колебаться возле гребня, не перемещаясь вдоль него. При выходе на функциональные границы метод становится неприменимым необ ходимы специальные приемы движение по проекции градиента на граничную поверхность , метод ажурной строчки . [c.131] Чтобы избежать указанных недостатков метода быстрейшего спуска, было предложено много новых численных методов нелинейного программирования методы решетки , параллельных линий , ортогональното преобразования пространства независимых переменных , последовательных симплексов , случайного поиска , тяжелого шарика , овражный и др. Некоторые из них, например методы последовательных симплексов и случайного поиска, особенно удобны для использования в вычислительных машинах. По методу последовательных симплексов движение осуществляется перекатыванием правильного многогранника (симплекса) в пространстве независимых переменных. В одном из вариантов случайного поиска из некоторой начальной точки делаются шаги заданной длины в случайном направлении. Если какая-то проба оказалась удачной. То полученная точка рассматривается как начальная при следующем шаге и т. д. [c.132] Что касается метода динамического программирования, то он может быть применен к определенному классу многоступенчатых процессов, к которым можно отнести также ректификационные процессы установки. При этом в качестве ступени процесса можно рассматривать либо ступень изменения концентрации (в отдельной колонне), либо целую колонну (в установке, состящей из нескольких колонн). По классической схеме динамического программирования каждую ступень процесса характеризуют четырьмя величинами входным вектором х , вектором управления о, выходным вектором Уз=У1 хи г ) и составляющей Целевой функции ф =фз(л з-, Гз). [c.132] В зависимости от размерностей вектора г, процесс называют Одномерным, двухмерным и т. д., а в зависимости от размерности —односвязным, двухсвязным и т. д. Увеличение размерности векто ров о и особенно х ведет к быстрому росту иоличества необходимых вычислений. [c.132] Если размерность х больше двух-трех, возникают большие трудности в вычислении, связанные с ограниченным объемом оперативной памяти машины. [c.132] Если выход из каждой ступени является входом в следующую ступень, т. уто мы имеем простой многоступенчатый процесс. [c.132] Здесь Fj — значение целевой функции для всех ступеней, от первой до у-й. Оптимальный параметр rj и соответствующая ему величина fj выражаются как функции входного параметра xj. [c.133] Вернуться к основной статье