ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые понятия теории векторных полей и топологии из "Физико-химические основы дистилляции и ректификации" При исследовании диаграмм равновесия жидкость —пар их можно представить в виде некоторых полей, заданных в концентрационном симплексе. Например, изобарической диаграмме будут отвечать скалярные поля температур кипения и конденсация, а также поле отрезков, образованное нодами. Введем ориентацию нод, считая началом ноды точку состава раствора, а концом точку состава пара. При этом условии поле нод представляет собой векторное поле, описывающее зависимость состава пара от состава раствора. Поле нод является в то же время полем направлений для дистилляционных линий, которые, в свою очередь, служат векторными линиями поля. [c.65] Рассмотренная интерпретация диаграмм равновесия жидкость— пар позволяет использовать для анализа нелокальных закономерностей сочетание термодинамической теории процессов открытого испарения и топологической теории многомерных векторных полей в той ее части, которая касается индексов особых точек векторного поля и свойств векторных полей, ограниченных многообразиями без контакта. [c.65] Остановимся сначала на понятиях, связанных с индексами особой точки векторного поля и многообразия. Отметим сразу, что последующее обсуждение будет проведено лищь в той мере, которая необходима для понимания дальнейшего изложения. Более полные и строгие определения и разъяснения можно найти в работах [38—45]. [c.65] Пусть в /-мерном эвклидовом пространстве / задано поле векторов V, длина и направления которых зависят от координат точки пространства. Особыми точками векторного поля будут те, в которых длина вектора равна нулю. Особенность такой точки состоит в том, что в ней нарушается непрерывность поля направлений, поскольку направление нулевого вектора является неопределенным. [c.65] Пусть теперь 5 — не содержащая особых точек поверхность /-мерного шара, внутри которого имеется одна особая точка векторного поля в ЯК При этом на 5 определено непрерывное векторное поле. [c.66] Построим вокруг некоторой точки д другую сферическую поверхность — сферу направлений. Перенесем вектор из любой точки р сферы 5 - параллельно самому себе в точку д и продолжим его до пересечения со сферой в какой-то точке т. Описанные операции определяют отображение точек сферы 5 - на сферу Е - называемое отображением на сферу направлений. В общем случае индексом особой точки векторного поля называется степень отображения на сферу направлений. [c.66] Аналогично определяется индекс многообразия M с а именно индексом многообразия M называется степень отображения его границы на сферу направлений. Понятие о степени отображения введено в топологической теории непрерывных отображений [38, 39, 45] и здесь нет необходимости в его разъяснении, поскольку далее потребуется не общее определение индекса, а лишь его свойства. [c.66] Среди граничных многообразий особый интерес представляют многообразия без контакта, т. е. такие дифференцируемые многообразия M - которых не касается ни один вектор имеющегося на M - векторного поля. [c.66] Многообразие без контакта называется положительным, если все векторы на нем направлены наружу, т. е. концы векторов лежат вне М и отрицательным, если векторы направлены внутрь. [c.66] Для многообразий без контакта Хопфом [42] доказана теорема, показывающая, что индекс ограниченной ими области определяется только ее топологическими свойствами. Теорему Хопфа можно сформулировать следующим образом [38] индекс многообразия М ограниченного положительным многообразием без контакта, равен Е — эйлеровой характеристике если же M ограничено отрицательным многообразием без контакта, то индекс многообразия M равен (— ) . [c.66] Остановимся теперь на нескольких замечаниях о замкнутых и-мерных многообразиях [43, 44]. Топологическое пространство называется замкнутым м-мерным многообразием, если оно гомео-морфно связному полиэдру и все его точки обладают окрестностями,-гомеоморфными м-мерному шару. [c.67] Наглядный пример двумерного замкнутого многообразия дает сферическая поверхность. Она гомеоморфна, например, октаэдру (полиэдру, составленному из восьми треугольников), и каждая точка сферы имеет окрестность в виде кривой поверхности шарового сегмента, которая гомеоморфна кругу, т. е. двумерному шару. [c.67] Аналогично можно говорить о трехмерных сферах большего числа измерений. Однако эти многообразия геометрически нельзя представить обычным образом, поскольку, к примеру, трехмерная сфера не может быть вложена в трехмерное эвклидово пространство подобно тому, как двумерная сфера не может быть вложена в пространство — плоскость. В связи с этим из-за недоступности для геометрической интуиции четырехмерного пространства приходится использовать специальный способ представления трехмерной сферы в трехмерном пространстве. [c.67] К указанному способу приводят следующие соображения. Двумерную сферическую поверхность можно представлять в пространстве Я как два круга, граничные точки которых соответствующим образом отождествлены. Такое представление основывается на том, что при склеивании вдоль граничных окружностей два круга образуют фигуру, топологически эквивалентную двумерной сфере. Аналогично трехмерную сферу можно представить в пространстве как два шара или два октаэдрических тела, граничные точки которых отождествлены. Таким жe пyteм можно осуществить вложение четырехмерной сферы в четырехмерное пространство и т. д. [c.67] Отметим в заключение, что читатель, заинтересованный главным образом в использовании дальнейших результатов, может не разбирать подробно перечисленные выше положения. [c.67] Вернуться к основной статье