ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Системы фермионов, взаимодействующих парными силами Каноническое преобразование Боголюбова из "Квантовая механика" В главе X мы познакомились с описанием состояний квантовых систем, состоящих из одинаковых бозонов в представлении чисел заполнения. В представлении чисел заполнения автоматически учитывается свойство тождественности частиц и требуемая симметрия волновой функции относительно перестановок частиц. В этой главе будут исследованы системы, состоящие из одинаковых фермионов. [c.403] Как было показано в 72, состояния систем, состоящих из одинаковых фермионов, определяются функциями, антисимметричными относительно перестановки любых двух фермионов. В связи с этим для систем, в которых приближенно можно говорить о состояниях отдельных фермионов, справедлив принцип Паули, согласно которому в каждом одночастичном состоянии не может находиться больше одного фермиона. Исследование системы одинаковых фермионов мы начнем с простейшего случая системы, содержащей N невзаимодействующих фермионов малой энергии, когда еще не происходит образование античастиц. [c.403] Как мы увидим нин е (впервые это показано Иорданом и Вигнером [77]), такие перестановочные соотношения приводят к правильному описанию системы фермионов. [c.405] Из равенств (86,10) следует, что результат действия ферми-операторов и а] на волновые функции от чисел заполнения зависит не только от числа частиц в состоянии 5, но и от чисел заполнения всех предшествующих состояний. Поэтому операторы г и 3 нельзя считать полностью независимыми. [c.406] Энергии и волновые функции ф могут относиться к одноэлектронным СОСТОЯНИЯМ в атомах, молекулах и твердых телах, когда не учитывается взаимодействие между электронами, или когда взаимодействие учитывается приближенно путем введения дополнительного эффективного поля. [c.407] в системе фермионов операторы физических величин выражаются через ферми-операторы увеличения и уменьшения 8 числа частиц в одночастичных состояниях 5 такими же формулами, как в системах бозонов операторы физических величин выражались через бозе-операторы м а (см. (86,14), (86,15)). Если система состоит из фермионов разного сорта, то каждому типу фермионов сопоставляется свой оператор Ф и свои операторы рождения и уничтожения, которые действуют на числа заполнения фермионов данного сорта. Операторы относящиеся к разным сортам фермионов, антикоммутируют между собой. Если в системе имеются фермионы и бозоны, то -операторы фермионов коммутируют с операторами бозонов. [c.408] Состояние слабо возбужденных систем, состоящих из большого числа фермионов, мало отличается от состояния Фо. Изменение начального состояния сводится к освобождению некоторых уровней с энергией е, и заполнению соответствующего числа уровней с энергией ея ер. Состояния остальных фермионов остаются при этом неизменными. Поэтому слабо возбужденные состояния системы невзаимодействующих фермио-нов можно характеризовать указанием состояний частиц с энергией вз Ер и освободившихся СОСТОЯНИЙ — дырок при Еа Бр, Такое описание системы одинаковых фермионов называют дырочным представлением . [c.409] Следовательно, в дырочном представлении число частиц всегда равно числу дырок . Другими словами, частицы и дырки рождаются и исчезают парами. [c.410] Все формулы этого параграфа сохраняют свой вид, если считать, что операторы Я( ) и функции ф5( ) заданы в импульсном представлении. Тогда % определяет компоненты импульса частицы и спиновую переменную. Импульсное представление удобно, если собственные функции одночастичного оператора Гамильтона изображаются плоскими волнами. [c.411] Рассмотренный в 86 случай систем невзаимодействующих фермионов представляет только методический интерес, так как свойства реальных систем определяются взаимодействием фермионов между собой и внешними полями, порождаемыми другими частицами. Поэтому представляет интерес исследование систем фермионов, взаимодействующих между собой. [c.412] При выполнении условия (87,12) новые операторы Л о и Ац удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для ферми-операторов. [c.415] Уравнение (87,20) имеет сложный вид. Значение Д зависит от спектра энергий е одночастичных состояний без взаимодействия, отсчитанных относительно химического потенциала л и функций kk, определяемых силами взаимодействия между двумя фермионами. [c.416] Состояния йо) и пы) имеют соответственно энергии Е к)пш и Е к)пы. [c.416] Непосредственно из (87,25) следует, что это выражение нельзя получить путем вычисления эффекта взаимодействия между фермионами методом теории возмущений. Теория возмущений дает поправки к энергии в виде степеней малой энергии взаимодействия V, а величина Д стремится к нулю как ехр(—О/у) и при значениях V л О не может быть разложена в ряд. [c.418] Если Д = О, то о = О и функции канонического преобразования сводятся к (87,23) для тривиального решения уравнения (87,20). Если Д =7 О, то 0 С 0. Таким образом, при Д =И= О нетривиальные решения (87,20) энергетически выгоднее тривиальных. [c.418] Следовательно, величина определяет разность энергии между основным и первым возбужденным состоянием системы фермионов. Если Ако ф О, то говорят, что в спектре элементарных возбуждений системы фермионов имеется энергетическая щель. В связи с этим возникает определенная устойчивость возбужденных состояний по отнощению к внещним воздействиям которая и обусловливает явление сверхпроводимости. Система может отдавать и получать энергию порциями, не меньшими Д . [c.419] При А О функции (87,19) канонического преобразования одновременно отличны от нуля, следовательно, новые ферми-операторы А и А, соответствующие рождению и уничтожению квазичастиц (кванты элементарных возбуждений), относятся к состояниям, являющимся суперпозицией фермионных и дырочных состояний системы невзаимодействующих частиц. Другими словами, элементарные возбуждения, относящиеся к значению АкФ О, являются коллективными возбуждениями. Тривиальному решению Д == О уравнения (87,20) соответствует другое — нормальное основное состояние с большей энергией, от которого непосредственно начинается непрерывный (для бесконечно большой системы) спектр возбужденных состояний. [c.419] Рассмотренный выше эффект появления щели в спектре возбужденных состояний системы, согласно (87,10), связан с взаимодействием фермионов в состояниях с противоположными импульсами. Такое взаимодействие называют эффектом спаривания. [c.419] Вернуться к основной статье