ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математическое обоснование теории линейной вязкоупругости из "Механические свойства твёрдых полимеров" Теперь необходимо поставить обсуждение на количественную основу. Как это сделать — это во многом вопрос вкуса, поскольку можно использовать чисто формальный математический подход со всеми его преимуш ествами или применять менее формальные приемы, которые, однако, обеспечивают более глубокое проникновение в физическую суть явлений вязкоупругости. Золотая середина состоит, по-видимому, в изложении возможных способов представления теории линейной вязкоупругости и установлении формальных связей между ними. [c.83] Первой математической формулировкой теории линейной вязкоупругости является принцип суперпозиции Больцмана [1], согласно которому предполагается, что ползучесть образца есть функция всей предыстории нагружения образца и что каждая ступень нагружения дает независимый вклад в конечную деформацию, так что полная деформация может быть получена простым суммированием всех вкладов. [c.83] Можно видеть, что полученный результат идентичен деформации ползучести, которая развивается при приложении напряжения Од аа время ij. Это демонстрирует второе следствие принципа суперпозиции Больцмана, состоящее в том, что деформации при ползучести и при упругом восстановлении, развивающиеся за одно и то же время, одинаковы по величине. [c.86] Релаксация напряжения по своему физическому смыслу представляет собой процесс, противоположный ползучести. Поэтому можно ожидать, что функции / ( ) и С ( ) должны быть формально связаны друг с другом простым математическим соотношением. [c.87] Рассмотрим процесс релаксации напряжения, в котором изменение напряжения происходит по закону, совпадающему по форме с функцией релаксации О (т), начиная с момента времени т = 0. В этом случае деформация должна оставаться постоянной как в обычном эксперименте по релаксации напряжения. [c.87] Для простоты мы можем нормализовать функции С (т) и / (т) так, чтобы эта константа была равна единице. [c.87] Такое представление особенно удобно при решении специфических проблем деформации вязкоупругих тел [2]. [c.88] Часто удается описать экспериментальные данные, полученные в узком временном диапазоне, ограничиваясь только одним или двумя членами в обеих частях этого уравнения. Далее будет показано, что это эквивалентно описанию вязкоупругого поведения с помощью механических моделей, состоящих из упругих пружин, свойства которых подчиняются закону Гука, и вязких демпферов, деформирующихся по закону Ньютона. [c.88] Простейшие модели состоят из одной пружины и одного демпфера, соединенных последовательно или параллельно. Такие модели известны как модель Максвелла и модель Кельвина— Фойхта соответственно. [c.88] что нагрузка падает экспоненциально с характеристической временной константой, равной т = г т1Е , т. е. [c.89] Эта простая модель имеет два недостатка. [c.89] наблюдается ньютоновский закон течения. Ясно, что это в общем случае для вязкоупругих материалов несправедливо, так как явление ползучести развивается более сложным образом. [c.89] Во-вторых, обычно релаксация напряжения не может быть представлена одним экспоненциально убывающим членом, и напряжение при бесконечно большом времени не обязательно падает до нуля. [c.89] Модель Кельвина — Фойхта состоит из пружины и демпфера соединенных параллельно, как показано на рис. 5.9. [c.90] Выведем опять соотношение между общим напряжением и общей деформацией. [c.90] При релаксации напряжения, когда д,е сИ = О, модель Кельвина — Фойхта дает а = Е е, т. е. предсказывает постоянство напряжения, означающее, что материал ведет себя как упругое тело. Ясно, что это не отражает истинной картины поведения вязкоупругого материала. [c.90] Полученные соотношения совершенно аналогичны уравнениям для релаксации напряжения и времени релаксации модели Максвелла. [c.90] Таким образом, модель Максвелла описывает релаксацию упругого тела, Фойхта — ползучесть, но ни одна из них не отражает общего поведения вязкоупругого тела, когда необходимо описать сразу и релаксацию напряжения, и ползучесть. [c.91] Это соответствовало бы первому приближению в случае ползучести (когда = 0) и в случае релаксации напряжения (когда с1е1сИ = 0), предсказывая в обоих случаях экспоненциальную реакцию на нагружение. [c.91] Вернуться к основной статье