ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Проверка адекватности моделей из "Математическое моделирование основных процессов химических производств" Критерии адекватности моделей. Математическая модель объекта является лишь его определенным в рамках принятых допущений аналогом. Поэтому значения переменных, получаемые на модели и объекте, различаются. Здесь возникает задача установления близости модели реальному объекту (установления адекватности модели). Прежде чем приступить к проверке и установлению адекватности, необходимо выработать критерий, который позволил бы сделать заключение о соответствии модели и объекта. Они базируются в основном на методах дисперсионного анализа и анализа остатков. [c.43] При проведении дисперсионного анализа каждому отдельному измерению отклика приписывается одна степень свободы. О1едовательно, при постановке п опытов для однооткликовой ситуации (ситуации с одной замеряемой выходной переменной) общая сумма квадратов 55(1) обладает и степенями свободы 55 (3) имеет (п - pj) и 55 (2) имеет pj степеней свободы ipj — число параметров в модели /, с использованием оценок которых вычисляется сумма 55 (2)). [c.44] Если проведено п повторных опытов при каждом из q различных условий проведения эксперимента, то сумма квадратов 55 (4) имеет 7t— 1 степеней свободы в одном повторном эксперименте (одаа степень свободы используется для оценки j ), в то время как сумма квадратов 55 (5) обладает и -- Pj - q(ii- 1) степенями свободы последнее число определяется как разность между числом степеней свободы остаточной суммы квадратов 55 (3) и суммы квадратов ошибок измерений 55 (5). [c.44] Суммы квадратов, обусловленные различными источниками, будучи поделенными на соответствующие числа степеней свободы, определяют соответствующие дисперсии. Очевидно, что адекватность модели может определяться отношением дисперсии адекватности модели к дисперсии воспроизводимости (/ -статистика). Если это отношение велико (по крайней мере существенно больше единицы), то имеются достаточно веские доводы в пользу того, что испытываемая модель не отражает результаты эксперимента. [c.44] Значения / -распределения для различных степеней свободы Дд и /воспр приведены в литературе по статистике. [c.46] Фишера Р -р(/, Ь) для уровня значимости р и чисел степеней свободы /1 =/ад и /г =/воспр - гипотеза верна, т.е. дисперсии и 5 оспр незначимо отличаются друг от друга и модель адекватна объекту. [c.46] ТО дисперсии 5 и 5 ад значимо отличаются друг от друга (причем 5 ср 5 ад) В качестве модели нельзя принять постоянную величину и использование проверяемой модели является целесообразным. [c.46] Рассмотренная проверка часто назьтается проверкой целесообразности использования модели. [c.46] Проверка гипотезы о законе распределения с помощью -критерия и -критерия. Если имеется выборочный закон распределения какой-либо величины (получаемый из эксперимента) и закон распределения генеральной совокупности (определяемый моделью), то адекватность модели эксперименту можно установить путем проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. Проверка осуществляется с помощью критериев согласия, определяющих вероятность того, что при гипотетическом законе распределения наблюдающиеся в рассматриваемой выборке отклонения вызываются случайными причинами, а не ощибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения, определяемом моделью, не опровергается. Часто в качестве критерия проверки статистических гипотез используется критерий Пирсона (х -критерий). [c.47] Последняя сумма имеет приближенно -рзспределение со степенью свободы / = /г - с - 1 (с - число параметров модели, определяемых по выборке). [c.47] В ошичие от критерия критерий (критерий Крамера - Мизеса -Смирнова) основан на непосредственно наблюдаемых несгруппирован-ных значениях случайной величины X. [c.47] При 40 распределение произведения близко к предельному -распределению, для которого составлены таблицы. [c.48] Анализ отсутствия в остатках неслучайных составляющих производят с помощью построения и изучения графической зависимости остатков от предсказанных значений откликов, что дает возможность установить соответствие модели экспериментальным данным. Так, например, из результатов анализа графика остатков (рис. 2.2) непосредственно сле.цует, что общая адекватность модели достигается благодаря сбалансированию остатков ц для малых и больших величин откликов. Следовательно, модель необходимо отвергнуть как неадекватную. [c.49] Анализ графической зависимости остатков от рассчитанных по модели значений откликов позволяет также получить дополнительную информацию о соблюдении ряда исходных статистических посылок относительно характеристики ошибок измерений и, в частности, относительно соблюдения условия постоянства дисперсии воспроизводимости з выбразгяой области экспериментирования (рис. 2.3). [c.49] При этом если, например, разброс величин остатков монотонно увеличивается или монотонно уменьшается на таких графиках, то дисперсия ошибки воспроизводимости является переменной величиной и необходимо использовать метод наименьших квадратов с переменными весовыми коэффициентами, либо для сохранения постряжтва дисперсии провести преобразование зависимой перемешой б/). [c.49] Теперь находим 95 %-ные доверительные интервалы для di и в2 ] соответственно получим 0,2103 0,06019 = (0,1501, 0,2705) и 0,4443 0,1075 = = (0,3368,0,5518). [c.53] Результаты эксперимента и расчета по модели приведены в табл. 2.2. Для оценки дисперсии воспроизводимости была поставлена отдельная серия опытов (табл. 2.3). [c.54] Пример 3. Методом ступенчатого возмущения исследовалась структура потока жидкости в аппарате. На основании эксперимента был получен выборочный закон распределения элементов потока по времени пребывания Р в) (табл.2.4). Одновременно для описания структуры потока жидкости использовалась ячеечная модель, для которой рассчитывался соответствующий закон распределения элементов потока по времени пребывания. Экспериментальный и теоретические законы распределения приведены в таблице. Требуется установить соответствие теоретаческого закона распределения элементов потока по времени пребыва.чия экспериментальному. [c.55] Вернуться к основной статье