ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Методы оптимизации непрерывно изменяющихся параметров циклических адсорбционных процессов из "Циклические адсорбционные процессы" Классификация методов. Для решений сформулированной в гл. 1 задачи комплексной оптимизации параметров и профиля адсорбционных установок или отдельных ее частей и элементов при однозначно (детерминированно) заданных значениях влияющих факторов могут быть применены многие из известных математических методов поиска экстремума функции многих переменных [49, 50]. Однако при практической их реализации на ЭВМ возникают серьезные вычислительные трудности. Некоторые простейшие, широко известные методы минимизации обычно совершенно непригодны для решения реальных задач. Поэтому проблема выбора наиболее целесообразного метода решения задачи поиска минимума сложной функции из числа существующих имеет большое значение. [c.121] В настоящее время отсутствует общепринятая классифика-пия методов поиска экстремума нелинейной функции многих переменных. Обычно в качестве отдельной группы выделяют методы, разработанные в классической математике метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных исследуемой функции по оптимизируемым параметрам, и метод неопределенных множителей Лагранжа. Эти методы позволяют решать задачи поиска оптимума нелинейной функции многих переменных только при отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры или при ограничениях в виде равенств. Поэтому указанные методы нельзя относить к методам нелинейного математического программирования. [c.121] Здесь целесообразно отметить, что нелинейное программирование как новое математическое направление возникло и развилось за три последних десятилетия из-за невозможности учета ограничений — неравенств на оптимизируемые параметры и на нелинейные функции с помощью классических методов решения экстремальных задач. [c.121] Согласно другой классификации, все методы нелинейного программирования можно разделить на методы локального поиска и методы нелокального (глобального) поиска. В процессе решения задачи одним из локальных методов значения оптимизируемых параметров непрерывно меняются в направлении минимизации (или максимизации) рассматриваемой функции. Тем самым эти методы гарантируют нахождение только локального оптимума. К группе локальных методов относятся методы градиентный, наискорейшего спуска, покоординатного спуска и др. Для методов глобального поиска характерно введение дискретности в процессе изменения оптимизируемых параметров, что способствует рассмотрению большей области изменения исследуемой функции и выявлению абсолютного оптимума среди локальных. К этой группе методов относятся метод случайного поиска, метод динамического программирования, а также сочетания для совместного использования ряда других методов. [c.122] В настоящем разделе дается краткий обзор существующих математических методов, которые можно использовать для решения задачи оптимизации непрерывно изменяющихся параметров адсорбционных установок, а также оценка их перспективности с вычислительной точки зрения. Оценка методов делается на основании практического опыта расчетов. В тех случаях, когда опыт применения отдельных методов слишком мал или полностью отсутствует, оценка производится на базе укрупненных проработок применительно к ряду практических задач. В качестве основного критерия сравнения различных методов принят объем вычислений на ЭВМ, требуемый для отыскания решений с заданной точностью. Кроме того, учитываются область сходимости метода, его универсальность по отношению к возможным изменениям описания физико-технических процессов оптимизируемых установок, гибкость и простота многократного применения, трудности и время программирования, наглядность получаемых на ЭВМ результатов. [c.122] Все указанные недостатки приводят к выводу о том, что использование классического метода определения экстремумов функции многих переменных для решения задач оптимизации параметров адсорбционных установок или отдельных элементов является неэффективным, поскольку 1) оно сводит первоначально поставленную задачу отыскания экстремума к таким вторичным задачам, которые оказываются не проще исходной, а зачастую и сложнее 2) при этом возникает необходимость в значительном изменении условий постановки адсорбционной задачи, искажающем ее сущность. [c.124] Здесь Я/ — множитель Лагранжа. [c.124] Необходимые условия экстремума состоят в равенстве нулю всех первых частных производных от . В результате получается (п т) уравнений с (п т) неизвестными X и Ь. Решение этих уравнений относительно переменных X п Ь позволяет определить положение стационарной точки. Таким образом, использование вспомогательной функции Ь(Х,А) и Вспомогательных множителей Л позволяет заменить задачу с дополнительными условиями вида (3.1.2) задачей без дополнительных условий. [c.124] Лагранжа сохраняют силу и другие недостатки и трудности использования, указанные выше применительно к первому из рассмотренных методов. [c.125] Методы слепого поиска. Сущность решения задач на определение экстремума функции многих переменных 3(ХиХ2,. ... Хп) с помощью методов слепого поиска заключается в организации просмотра (в определенном порядке или случайным образом) допустимой области изменения оптимизируемых параметров X и сравнении соответствующих значений функции 3. При этом информация о функции 3, полученная в результате какого-либо варианта расчета, используется при последующем расчете лишь в ограниченном объеме, а само определение экстремального значения функции 3 не сопровождается последовательным улучшением промежуточных результатов. [c.125] Здесь т — количество точек дискретной области определения -го параметра п — число независимых оптимизируемых параметров. [c.125] К преимуществам метода прямого упорядочения вариантов по критерию эффективности следует отнести простоту алгоритма и программы оптимизации, малый объем необходимой машинной памяти и возможность нахождения абсолютного оптимума Главным недостатком метода является большое время работы ЭВМ, так как приходится рассчитывать все возможные варианты сочетаний значений оптимизируемых параметров. Этот недостаток вытекает из сущности рассматриваемого метода, при котором в процессе поиска экстремального значения целевой функции 3 результаты расчета предыдущих вариантов используются в очень малой степени. Для примера укажем, что если каждый из независимых параметров и варьируемых внешних факторов будет принимать по 5 значений, то при общем числе этих параметров и факторов, равном 10, потребуется рассчитать и сравнить приблизительно 10 миллионов вариантов. Для случая, когда число независимых параметров и внешних варьируемых факторов равно 20 и каждый из них принимает по 5 значений, общее число возможных вариантов возрастает до 10 . Кроме того, этот метод позволяет определить лишь приближенное положение точки оптимума, соответствующее значению функции цели в узлах пространственной сетки. [c.126] Применение рассматриваемого метода целесообразно для оптимизации параметров элементов и групп элементов оборудования адсорбционных установок, имеющих относительно небольшое число независимых параметров и варьируемых внешних факторов — не выше 6—7 для ЭВМ среднего класса. При использовании ЭВМ с быстродействием в несколько миллионов операций в секунду (типа БЭСМ-6) область применения этого метода может быть расширена. [c.126] Следующим методом слепого поиска, который может быть применен в процессе оптимизации параметров адсорбционных установок и их отдельных элементов для решения нелинейных экстремальных, многофакторных задач является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Сущность этого метода заключается в том, что решение аналитической задачи заменяется моделированием некоторого случайного процесса. Его вероятностная характеристика, например вероятность определенного события или математического ожидания некоторой величины, имеет тесную связь с возможным решением исходной аналитической задачи. При использовании указанного метода необходимо большое число раз моделировать соответствующий случайный процесс и определять путем статистической обработки значение искомой характеристики — вероятности или математического ожидания. Поэтому метод статистических испытаний требует выполнения огромной вычислительной работы. [c.126] Метод статистических испытаний характеризуется простотой алгоритма и программы рещения задачи. Ему свойственны все преимущества, присущие методу прямого упорядочения вариантов по критерию эффективности. Вместе с тем при использовании метода статистических испытаний количество рассчитываемых вариантов, а следовательно, и время счета на ЭВМ зависят от требуемой вероятности решения задачи с погрешностью, не превышающей определенное значение. Для тех задач, где допустимо некоторое снижение вероятности получения решения с заданной точностью, число необходимых случайных испытаний может быть уменьшено. [c.127] Анализ возможностей использования двух методов слепого поиска для решения многофакторных экстремальных задач показал, с одной стороны, ряд их положительных свойств, а с другой —ограниченность их применения кругом задач с небольшим числом оптимизируемых параметров. Второй весьма важной областью применения методов слепого поиска является их использование в алгоритмах, сочетающих в себе ряд методов, в частности для определения абсолютного оптимума в многоэкстремальных задачах и для оптимизации дискретно изменяющихся параметров. [c.127] Таким образом, каждый этап пррцесса градиентного спуска имеет две составляющие определение направления наискорейшего спуска и осуществление шага по направлению спуска. Рассмотрим эти составляющие. [c.129] В случае применения метода численного дифференцирования для определения градиента функции 3(ДС) необходимо учитывать следующее обстоятельство. Теоретически оба рассмотренных метода определения частных производных дают совпадающие результаты только при условии, что Ах стремится к нулю. [c.129] Вернуться к основной статье