ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Физико-математические основы динамики нелипейных процессов из "Биофизика" Определим метод изучения биологической системы как построение динамической модели и ее описание дифференциальными уравнениями, т. е. как построение системы уравнений и исследование их решений. [c.486] При Акт эти корни действительны, при Акт — комплексны. В первом случае процесс имеет характер апериодического затухания, во втором — затухающих колебаний. Значения 4, и Ла определяются начальными условиями. [c.487] Рациональный метод исследования динамической системы состоит в получении ее фазового портрета . Поведение системы представляется движением изображающей точки на фазовой плоскости X, у, где у = X. Если число переменных больше двух, то речь идет уже не о фазовой плоскости, но о фазовом пространстве. Во многих случаях, однако, оказывается возможным ограничиться системами второго порядка типа (15.8), т. е. N = 2. [c.487] Таким образом, изоклины представляют собой прямые, проходящие через начало координат — через особую точку т = 0, у = 0. [c.488] Фазовая скорость убывает по мере приближения к началу координат и обращается в нуль в зтой точке. [c.489] Фазовый портрет системы показан на рис. 15.4. [c.489] В описанных примерах мы имеем дело с различными типами особых точек, во всех трех случаях расположенных в начале координат. Для гармонического осциллятора без трения все фазовые кривые замкнуты, имеют форму эллипса. Они охватывают особую точку, называемую центром. Для затухающих колебаний особая точка является асимптотической точкой всех кривых, имеющих вид вложенных друг в друга спиралей. Такая точка называется фокусом. Наконец, при апериодическом затухании все кривые проходят через особую точку, именуемую узлом. [c.489] Значения Л(, Аг, В1, Вг определяются начальными условиями, т, е. величинами х, у, X, у при = 0. [c.490] Общая классификация особых точек, данная Пуанкаре, основывается на поведении интегральных кривых в ближайшей окрестности этих точек. [c.490] Если дискриминант /) О, то корни 1, Яа комплексно-сопряженные. [c.491] Виды особых точек показаны на рис. 15.5. [c.491] Именно с такого типа устойчивостью и неустойчивостью мы имеем дело. [c.492] Излагаемая здесь теория нелинейных динамических систем развита школами Мандельштама и Андронова. [c.492] Значения параметров системы, при которых она меняет свое поведение, называются критическими или точками бифуркации. [c.492] Козффициенты р, д являются функциями параметров системы — в рассмотренном случае параметров аи аг, Ь Ъ . Области различных особых точек добно представить на плоскости р, д (рис. 15.6). Корни Ки Яг имеют отрицательную действительную часть только при р О, д 0. Комплексные корни, соответствующие фокусам, находятся только в области д /)74, т. е. между ветвями параболы д = / 74, а область д р /А соответствует узлам. Центры располагаются на положительной стороне оси ординат—при /) = 0, д 0. При изменении параметров системы изображающая точка может пересечь границу области. В этом случае происходит бифуркация. [c.492] Специальные случаи критических точек, отвечающих различным типам структурных неустойчивостей, рассматриваются в так называемой теории катастроф Тома. Мы здесь не останавливаемся на этой теории, но ее применение к некоторым специальным задачам биофизики представляется обещающим. [c.492] Среди рассмотрепных линейных систем только гармонический осциллятор без трения имеет замкнутые фазовые траектории, отвечающие периодическому движению. В такой системе энергия постоянна, система консервативна. Периодические процессы в линейных неконсервативных системах невозможны. [c.493] Колебательное поведение нелинейных систем весьма сложно и разнообразно. Его изучение имеет фундаментальное значение для очень широкого круга физических проблем, в том числе для проблем биофизики. [c.493] Общие уравнения (15.6) нелинейны, то же относится к уравнениям (15.16), которые мы линеаризовали с целью исследования окрестностей особых точек. Такое исследование не отвечает, однако, ва вопросы о соведении нелинейной системы на всей фазовой плоскости. Мы встретимся с нелинейными системами, характеризуемыми множественными особыми точками, в дальнейшем изложении. [c.493] Особый интерес для биологии представляют нелинейные автоколебательные системы, в которых устанавливаются и поддерживаются незатухающие колебания, несмотря на наличие трения. Это происходит за счет сил, зависящих от состояния движения самой системы. Размах автоколебаний определяется свойствами системы, а не начальными условиями. Из неустойчивых особых точек фазовые траектории уходят в бесконечность или к устойчивым точкам. Но в случае автоколебаний эти траектории накручиваются на замкнутую кривую, охватывающую особую точку —на предельный цикл (рис. 15.7). В свою очередь, предельные циклы могут быть и неустойчивыми. Эти ситуации присущи грубым системам, к которым относится, по-видимому, ряд биологических систем. Устойчивый предельный цикл, изображенный на рис. 15.7, соответствует незатухающим автоколебаниям. С таким явлением мы уже встречались при обсуждении свойств летательных мышц насекомых. [c.493] Вернуться к основной статье