ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Многоуровневый метод оптимизации ХТС из "Принципы математического моделирования химико-технологических систем" Метод многоуровневой оптимизации позволяет провести декомпозицию большой задачи оптимизации на последовательность более мелких задач оптимизации. В основном метод осуществляется на двух уровнях. На первом уровне подсистемы (элементы) ХТС опти-мизирзтот независимо друг от друга. Второй уровень служит для согласования первых уровней оптимизации с целью достижения общего оптимума системы. Если оптимизация подсистемы ХТС сама выполняется посредством двухуровневого алгоритма, полный алгоритм оптимизации имеет многоуровневую иерархическую деревовидную структуру. [c.313] Одно из важных достоинств метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно значительно уменьшить время решения и (или) требуемый объем памяти оперативного запоминающего устройства ЭВМ. Время решения может быть значительно сокращено благодаря одновременной оптимизации подсистемы (элементов) ХТС па цифровой вычислительной машине или на нескольких машинах, которые выполняют параллельные операции. Требуемый объем машинной памяти может быть уменьшен, так как задачи оптимизации подсистем (элементов) ХТС имеют меньшие размеры, чем первоначальная задача. [c.313] Многоуровневый алгоритм осуществляет последовательность итераций но информационным переменным, которые не удовлетворяют ограничениям взаимных связей ХТС до тех пор, пока не достигнут глобальный оптимум. [c.314] Сущность метода многоуровневой оптимизации поясним на примере оптимизации ХТС, состоящей из двух элементов, которые охвачены рециклом (рис. 1-8, а). Предполагают, что выходы элементов г/1, г/з, 2 и 22 являются непрерывными функциями входов и М . [c.314] Ограниченные множества Si и заключают оптимизирующие переменные в реальные физические пределы и тем самым гарантируют, что максимумы подзадач существуют для любого множества цен Р. [c.315] Решение подзадач I и II дает решение основной задачи, если цены Pi ш Р2 выбраны правильно. Выбор правильных цен является задачей второго уровня алгоритма. Этот уровень выбирает цены так, чтобы свести разности (Xj — z ) и х — z ) к нулю тем самым удовлетворяется условие равенства одноименных технологических потоков ХТС. [c.315] Задача оптимизации функции Лагранжа разлагается непосредственно на подзадачи I и II, поскольку первый член в скобках уравнения (VI,45) представляет собой целевую функцию подзадачи I, а второй член — целевую функцию подзадачи И, т. е. [c.315] Так как максимум функции Лагранжа является функцией только множителя Р и эта функция играет главную роль в дальнейшем, ей дано специальное название — двойственная функция, которую обозначают через у (Р). [c.315] Здесь М ч X — значения М ж х, которые максимизируют подзадачи I и П. [c.316] Метод многоуровневой оптимизации может быть гарантированно сведен к глобальному решению полной задачи оптимизации, если удовлетворяются определенные математические условия. Примененные математические доводы основаны на простых понятиях теории множеств и топологии. [c.316] Всякая сходящаяся последовательность называется фундаментальной. [c.317] Для того чтобы дополнительно упростить анализ, все ограничения неравенств включим в множество 5. [c.317] Задача Лагранжа формулируется следующим образом максимизировать Ь х, X) при фиксированном Я. (х 5). [c.317] При соответствующем выборе множества 3 лагранжева задача имеет конечное решение для всех X в евклидовом п-мерном пространстве. Поэтому с данного момента полагаем, что 5 было выбрано определенным образом. Знание х, которое максимизирует Ь (х. Я.) для любого данного X, обозначим через х (X) или, если это не приведет ни к какой путанице, просто посредством х. [c.317] Для дальнейшего изложения необходимо ввести дополнительное понятие опорная плоскость для множества . Гиперплоскость Н, данная уравнением Х х = а, является опорной гиперплоскостью для множества П, если оно полностью содержится в одной из половин пространства, образованного Я, и граница Е имеет по крайней мере одну общую точку с Н. [c.317] На рис. У1-9 гиперплоскость Н является опорной плоскостью для множества Н в точке f (х ). Множество не имеет опорной плоскости в точке Р. [c.318] Теперь сформулируем условия, при которых максимизация функции Лагранжа для соответствующих значений множителей Я, дает решение основной задачи. Это условие нужно дополнить, если многоуровневый алгоритм должен сойтись к оптимуму полной задачи. [c.318] Поэтому X максимизирует (х, X) в точке [ж, Хо]. [c.318] Это означает, что Л имеет опорную плоскость в [/ (х ), б (х ). [c.318] Многоуровневый алгоритм требует, чтобы функция Лагранжа была максимизирована для последовательности множителей X, поскольку оптимальный множитель Яо не известен априори. [c.319] Вернуться к основной статье