ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Совместность и определенность систем уравнений балансов ХТС из "Принципы математического моделирования химико-технологических систем" Если тождество (II,22а) для данного набора функций не выполняется, то функции ф , ф2,. . фт называют независимы-м и. [c.44] Когда подобная линейная зависимость не существует, функции называют линейно независимыми, а тождество (11,226) выполняется лишь при условии, что все коэффициенты а, р,. . б одновременно равны нулю. [c.44] При составлении системы независимых уравнений материального баланса необходимо учитывать, что баланс но общим массовым расходам равен сумме балансов по массовым расходам всех компонентов. При отсутствии в ХТС химических превращений составление элементных балансов излишне, поскольку элементные балансы входят в покомпонентные балансы. Для каждого элемента, подсистемы или ХТС в целом в общем случае можно составить несколько вариантов систем независимых уравнений материальных балансов. [c.44] Пример П-1. Для технологического оператора разделения (рпс. П-1) составить несколько возможных систем независимых уравнений материальных балансов. [c.44] В этой системе уравнений независимыми являются, например, следующие уравнения (1) - (6) (2) - (7) (1), (3) - (7). [c.45] Таким образом, система уравнений материального баланса оператора разделения содержит шесть независимых уравнений с двенадцатью неизвестными. [c.45] Каждое ненулевое решение должно удовлетворять требованиям технического задания и технологических условий. [c.46] Минор г-го порядка матрицы [1] называют функциональным минором Якоби, или Якобианом, и обозначают через [Л. [c.46] Ранг rJ матрицы [Л может иметь следующие значения если Гд — г = т, 10 система уравнений балансов состоит из т независимых уравнений и является совместной если = г т, то система уравнений балансов включает г = независимых уравнений, а (т—г) уравнений зависят от других г уравнений и система уравнений является совместной. [c.46] Таким образом, при расчете этой системы уравнений г неизвестных оказываются выраженными через п — г) остальных неременных г+1 г+2 называемых свободными перемен-н ы м и. Все свободные переменные системы уравнений балансов должны быть взаимно независимы и соответствовать требованиям технического задания и технологических условий функционирования ХТС. [c.46] Если система уравнений балансов линейна, то анализировать функциональную матрицу Якоби необязательно, поскольку в этом случае Якобиан совпадает с матрицей системы линейных уравнений, для определения совместности которых при ненулевых решениях используют известные из линейной алгебры теоремы. [c.46] Пример П-2. Для технологического оператора разделения, рассмотренного в примере П-1, проанализировать влияние выбора набора свободных переменных системы уравнений материального баланса на решение этой системы уравнений. [c.47] Следовательно, при заданном наборе свободных переменных линейная система уравнений материального баланса оказалась совместной и определенной. [c.47] Вариант. 2. В качестве свободных переменных заданы F = 100 кмоль/ч D = 75 кмоль/ч = 25 кмоль/ч Хр = 0,746 = 0,9733 = 0,04. [c.47] Описанная в этом примере ситуация типична для решения практических задач проектирования и эксплуатации ХТС, когда число исходных данных больше числа независимых уравнений математической модели системы. [c.48] Из анализа матрицы (7) легко видеть, что ее ранг равен 4, так как последние две строки представляют собой линейную комбинацию второй, третьей и четвертой строк (как уже ранее отмечалось, элементные балансы по углероду и водороду содержатся в покомпонентных балансах метана, этана и пропана). Следовательно, в данной системе уравнений материального баланса только четыре уравнения независимы. [c.48] Из рассмотрения матрицы (9) очевидно, что ее ранг равен 6, так как седьмая и восьмая строки представляют собой линейные комбинации трех строк соответственно первой, третьей, пятой и второй, четвертой, шестой. Независимыми в данной системе уравнений будут уравнения (1)—(6) или (1) — (5) и (8) — и т. д. [c.50] Вернуться к основной статье