ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Линейное программирование в химической технике Основные свойства определителей из "Математические методы в химической технике Изд.6" Во многих случаях решение производственных и других задач требует рассмотрения большого количества вариантов. Между тем найти наилучшее, оптимальное решение, не рассматривая все возможные варианты, позволяет получившая развитие в последние годы новая отрасль математики — линейное программирование . [c.254] Предметом линейного программирования является разработка различных математических методов для решения так называемых экстремальных задач с линейными связями и ограничениями. [c.254] Линейное программирование дает возможность решать задачи только такого типа, которые могут быть выражены в точной математической форме, когда все факторы, влияющие на решение, а также само решение, могут быть выражены в цифровых показателях и когда задача состоит в том, чтобы выбрать некоторую комбинацию альтернативных решений из более или менее значительного числа возможных решений. [c.254] Методы линейного программирования основаны на теории линейной алгебры и линейных неравенств. [c.254] Рассмотрим основные свойства определителей. [c.254] Это свойство справедливо и для столбцов определителя. [c.255] Свойством 8 удобно пользоваться для вычисления определителя, так как для этого достаточно вычислить одно произведение Но этим свойством можно воспользоваться только тогда, когда у определителя все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца, кроме одного, равны нулю. Поэтому сначала при помощи первых семи свойств заданный определитель нужно преобразовать в определитель, у которого в каком-нибудь столбце или в какой-либо строке все элементы, кроме 0дн0Г0j равны нулю, а потом использовать восьмое свойство и представить его в виде произведения этого элемента на его алгебраическое дополнение. [c.256] Если этот определитель разложить по элементам любой другой строки и подсчитать его значение, то получим то же число 28. Подсчет значения определителя облегчается, если сначала сделать нули в каком-либо столбце или какой-либо строке. [c.259] Таким образом, определитель /г-го порядка, так же как определители 2, 3 и 4-го порядка, определяются через определители низших порядков. Определители п-го порядка обладают теми же свой-етвамн, что и определители 2, 3 и 4-го порядков. Поэтому для вычисления определителя п-то порядка вместо того, чтобы вычислять а определителей п — 1) порядка, нужно сначала преобразовать его к такому виду, чтобы в каком-нибудь столбце или в какой-нибудь строке все элементы, кроме одного, были равны нулю. На основании 8-го свойства такой определитель равен произведению этого неравного нулю элемента на его алгебраическое дополнение, т. е. вычислить придется один определитель (п — 1) порядка. [c.261] Знаменателями атих дробей является определитель системы, а числителем — определители, получаемые иэ определителя системы заменой -го столбца столбцом свободных членов. [c.261] Одним иа важных методов изучения процессов с многокомпонентными продуктами и решения уравнений материальных балансов является линейное преобразование. [c.263] Если количество начальных и конечных компонентов различно, то взяв за п наибольшее из них и дополнив нулями до п наименьшее, можно свести задачу к преобразованиям (1) или (2). Действительно, если в рассматриваемом здесь примере а есть количество исходных веществ, т — количество конечных продуктов и, например т и, то необходимо взять х, +1 = О, х 2 =0,. . х = 0. [c.263] Для приложения математики к экономике важным является понятие обратной матрицы. [c.264] Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная и все элементы диагонали равны единице. Единичную матрицу условимся обозначать через Е. [c.264] Если аЬ = I, то а по отношению к Ь будет обратным числом и, конечно, если а обратно к 6, то 6 обратно к а. [c.264] Найти матрицу, обратную матрице А, означает найти такую матрицу В, чтобы АВ равнялось Е, т. е. единичной матрице, или найти такую матрицу В , чтобы В А равнялось Е. [c.264] Если определитель И = О, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица называется невырожденной. Для того чтобы произведение двух матриц было вырожденной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из матриц сомножителей была вырожденной матрицей. [c.265] Если матрица А вырожденная, то у нее обратной матрицы быть не может, так как определитель матрицы Е равен единице 1 1 =1, т. е. Е невырожденная матрица. Из этого также следует, что вырожденные матрицы обратных матриц не имеют. [c.265] Таким образом, только невырожденная матрица имеет обратную матрицу, причем единственную, при этом обратные матрицы справа и слева совпадают. [c.265] Умножая матрицу А на обратную матрицу А р и, наоборот, матрицу Ай1 на матрицу А, легко убедиться, что в том и другом случае в произведении получится единичная матрица, а это значит, что матрица А р будет по отношению к матрице А обратной как справа, так и слева. [c.266] Вернуться к основной статье