ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Основы математической статистики из "Аналитическая химия Том 2" Для того чтобы уметь применять статистические методы к обработке экспериментальных данных, требуется знание основ теории вероятностей. Подробное изложение курса теории вероятностей не входит в задачу данной книги нри необходимости следует обратиться к снехщальной литературе. Здесь рассмотрены лишь некоторые наиболее общие понятия и приведены фундаментальные уравнения. [c.417] Величина называется случайной, если она может принимать те или иные значения с некоторой вероятностью. Любая функция случайной величины тоже является случайной величиной. Каждое конкретное значение случайной величины называется ее реализацией (вариантой). [c.417] Если случайная величина может принимать лишь некоторое конечное число различных значений, она называется дискретной, в противном случае — непрерывной. Примером дискретной случайной величины могут служить результаты счета числа частиц, образующихся при распаде радиоактивного образца примеры непрерывных случайных величин — результаты измерений температуры, объема, концентрации и т. д. В общем случае можно считать, что непрерывная случайная величина может принимать любое значение в интервале от —00 до -foo, однако во многих случаях физический смысл имеют только положительные величины. Строго говоря, все результаты измерений следовало бы считать дискретными случайными величинами в силу ограниченной цены деления любого измерительного прибора. Однако на практике большинство экспериментальных величин, с которыми имеет дело аналитик, можно приближенно считать непрерывными. Поэтому в данном разделе рассматриваются только непрерывные случайные величины. [c.417] Последнее выражение означает, что величина х имеет некоторое значение в интервале (—оо, Ч-оо) с вероятностью, равной 1. [c.419] В дальнейшем мы подробно рассмотрим наиболее важный пример таких функций — функцию плотности вероятности и функхщю распределения для стандартного нормального (гауссова) распределения. [c.419] В 65 образцах сплавов определили содержание никеля. Результаты представлены ниже. [c.419] Здесь ЬВ и ив — соответственно нижний и верхний пределы (левая и правая границы интервала) значений ширина интервала равна иВ-ЬВ. [c.419] Представим эти данные в виде гистограммы распределения, графика относительных частот и графика накопленных относительных частот. [c.419] Относительную частоту можно рассчитать делением числа данных, попадающих в тот или иной интервал (последняя колонка таблицы) на общее число данных ее удобно выразить в процентах. Для интервалов 1-6 относительные частоты равны 7,7, 15,4, 18,5, 29,2, 15,4 и 13,8% соответственно. Гистограмма распределения состоит из прямоугольников, основания которых совпадают с соответствующими интервалами значений, а площади пропорциональны относительным частотам. Если все интервалы имеют одинаковую ширину (как в данном примере), то можно принять высоту каждого прямоугольника равной соответствующей относительной высоте. Гистограмма, построенная указанным способом, изображена на рис. 12.1-1,а. График относительных частот (приведен на том же рисунке) можно получить, соединяя середины верхних оснований прямоугольников ломаной линией. [c.419] По данным, приведенным во 2-й и 4-й колонках этой таблицы, построим кривую относительных накопленных частот (рис. 12.1-1,6). [c.420] Ниже приведены некоторые важные частные случаи этого выражения. [c.420] Первый нецентральный момент Е х) = ж/(а )(1а называется средним значением величины X. Он обозначается символом /х. Среднее значение характеризует положение центра распределения случайной величины на числовой оси. [c.420] Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины относительно среднего. Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением и обозначается как сг. В табл. 12.1-1 приведены определения среднего и дисперсии для генеральной совокупности, а также для выборки объемом п. [c.421] Здесь Их и /ху—средние значения X и У. [c.421] Таким образом, дисперсия — частный случай ковариации. [c.421] Он может принимать значения в диапазоне от -1 до -1-1 и служит мерой степени взаимосвязи величин X и У. [c.421] Некоторые полезные свойства математического ожидания приведены в табл. 12.1-2. [c.421] П X = Т,1Х1/п и я = 11г(Хг - Х) /(п - 1) являются несмещенными оценками для / ист соответственно. [c.422] Если повторить один и тот же эксперимент п раз, мы получим выборку — серию из п независимых, идентично распределенных значений Х1,Х2.Хп случайной величины X (нижний индекс соответствует номеру эксперимента). Любая функция случайных величин есть тоже случайная величина. Рассмотрим некоторую функцию 2(Х), аргументами которой служит серия из п значений Х1,Х2. Хп случайной величины X. Эта функция является новой случайной величиной, распределение которой связано с распределением X и порождается им. Распределение величины 2 в этом случа называется выборочным распределением. Два важных примера функции 2(Х)—эгго выборочное среднее X и выборочная дисперсия Отметим, что необходимо строго различать выборочные параметры (например, X или з ) и генеральные параметры (соответственно, /х и т ). [c.422] Генеральный параметр (параметр распределения) — это константа, характеризующая функцию распределения случайной величины. [c.422] Вернуться к основной статье