ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Численное интегрирование дифференциальных уравнений из "Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии" Однако такое определение высших производных и нахождение по ним итеративным методом у при /с = 1, 2,. .. неудобно, так как численное дифференцирование связано со значительными трудностями. Поэтому ряд Тейлора используют лишь для оценки точности других методов, в которых ограничиваются вычислением производной только первого порядка, т. е. f (х, у). [c.145] При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145] По этому соотношению, начиная от j/q и придавая к последовательно значения О, 1, 2, можно найти у для любой заданной величины X. [c.146] Оценим ошибку расчета по методу Эйлера. Из разложения в ряд Тейлора ясно, что замена (f х h) — ф (х) на ф Л при малых h дает ошибку, пропорциональную h , т. е. равна onst-/г, . Если интервал х —х разбит на п частей и h = х—х 1п, то такая ошибка совершается п раз, и суммарная ошибка будет пропорциональна x—XqY ji. Таким образом, увеличение точности в п раз требует увеличения в то же число раз точек деления. Именно этот недостаток ограничивает применение метода Эйлера. Если, однако, зависимость у (х) близка к линейной (что довольно часто имеет место в прикладных расчетах), то коэффициент пропорциональности onst мал, и метод Эйлера даже при небольших п даст точное решение. [c.146] производная определяется не в начальной, а в средней точке интервала (при х = х Ь12). [c.146] Подчеркнем, что метод Рунге — Кутта эффективнее метода Эйлера только для искривленных функций. [c.147] В расчетной практике необходимая точность достигается проведением расчета при и 2 = (1 2) Если результаты расчетов близки, в дальнейшем пользуются шагом если результаты различны, вновь уменьшают шаг. [c.147] Будем считать, что эта система имеет решение, притом единственное. Наиболее часто такое решение находят численными методами, которые сводят краевую задачу к задаче с граничными условиями на одном конце (задача Коши). Если, например, к—р граничных условий заданы при х = а, ар условий — при X = Ь (фиксированные условия), то, выбрав р произвольных условий при X = а, будем решать задачу с условиями при а = а (при этом р условий при X = Ь яе используются). Произвольные условия при X = а меняют таким образом, чтобы рассчитываемые У (Ь) удовлетворяли отброшенным фиксированным условиям. [c.148] Теперь легко осуш ествить итерационную программу вычислений Mj, Nj, а затем по ним и у в точках 1, 2,. .., и—1. Создан ряд вариантов сочетания методов конечных разностей и прогонки, когда краевые условия заданы не только в виде чисел, но и в виде функций. [c.149] Вернуться к основной статье