ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Виды математических описаний из "Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии" Создание математических описаний (йатематических моделей) — обязательный этап математического моделирования, которое включает также ряд других этапов, связанных с использованием математических описаний при оптимальных разработке, расчете или управлении. Математическое описание процесса представляет собой совокупность структур, изоморфно отражающих свойства объекта, проявляемые в экспериментальных условиях [1]. Из этого определения ясно, что математическое описание появляется как результат экспериментальных исследований (возможно, и выполненных до осуществления процесса, для которого оно создается) и применяется для экспериментального осуществления процесса. [c.52] Математические структуры, входящие в математическое описание, используются для преобразования входных переменных в выходные подобно тому, как в реальном процессе осуществляется преобразование входной (начальной) смеси веществ в выходную (конечную). Понятно, что переменными в математических описаниях будут характеристики компонентов обрабатываемой смеси (главным образом концентрации) координаты точки, в которой определяются характеристики компонентов показатели процесса в этой точке (скорость процесса, скорость потока, температура, давление, активность катализатора) продолжительность проведения процесса. [c.52] Один из способов получения математического описания — эмпирический. При его применении может быть полезен метод анализа размерностей, позволяющий уменьшить число переменных (вследствие перехода к безразмерным комплексам) и упростить подбор связей между ними. Следует, однако, отметить, что эмпирически, без теоретического анализа, подобрать описание сложного физико-химического процесса очень трудно. [c.53] Используя методы математической статистики, можно получить систему уравнений, связывающих выходные переменные процесса с входными в виде полиномов — уравнений регрессии, которая и представляет собой математическое описание процесса. Использование методов математической статистики для описания химико-технологических процессов рассмотрено в главе I. [c.53] При описании процессов переработки сложных смесей не 1ьзя отказаться от использования эмпирических методов или методов математической статистики приходится рассчитывать не только физико-химические, но и технические характеристики веществ (октановое число, индекс вязкости и т. п.), которые могут быть связаны с характеристиками процесса эмпирическими, в том числе регрессионными, уравнениями. [c.53] Если исследователю известна теория явлений, составляющих сложный физико-химический процесс, и эта теория устанавливает количественно, в виде математических соотношений, связь между различными переменными процесса, то можно создать теоретическое описание процесса. Его часто называют кинетическим, так как в правые части уравнений входят кинетические зависимости для физико-химических процессов. [c.53] Такое математическое описание представляет собой систему уравнений, выражающих для выбранных процесса и аппарата законы сохранения массы и энергии — материальные балансы по отдельным химическим веществам, балансы тепла и кинетической. энергии потока. Эти балансы записывают для элементарных объемов аппарата, поэтому полученные математические описания представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных или полных Ароизводных и лишь иногда — систему алгебраических уравнений. [c.53] Поскольку любые функции можно представлять степенными рядами, то возможна интерпретация такого детерминированного описания в виде регрессионных уравнений правда, при этом описание становится применимым для более узкой области изменения переменных. [c.54] Статнстнческие описания позволяют решать лишь задачи оптимального управления (определения оптимальных условий в уже созданном реакторе), ио не оптимального проектирования. Так, для решения задач оптимального проектирования с помош,ью статистических описаний требуется экспериментальное изучение влияния размеров аппарата на результаты процесса в довольно широком интервале и в связи с этим — создание значительного числа опытных установок. Поэтому совершенно очевидно, что статистическими описаниями в этом случае пользоваться не следует. [c.54] При разработке процесса (подбор состава катализатора, оптимального режима) и решении задач оптимального управления путь получения математического описания произволен. Однако и здесь приходится отдать предпочтение физико-химическому подходу. При этом удается учесть все накопленные ранее ведения о процессе и тем самым резко сократить объем информации, необходимой для составления описания. Особенно ценно, что использование кинетических описаний исключает ошибочную информацию, противоречащую, например, материальным и тепловым балансам. [c.54] Кинетические описания, позволяющие решать любые задачи оптимизации химических процессов, являются более универсальными, чем статистические, однако они значительно сложное. [c.54] Выше отмечено, что математическое описание состоит из уравнений материального баланса по каждому из компонентов, а также из уравнений балансов теиловой и кинетической энергии. При наличии нескольких фаз возможна запись балансов для каждой фазы отдельно. [c.54] Поскольку в реальном аппарате существуют поля физических величин, уравнения балансов записывают для элементарного объема аппарата только в этом случае можно использовать истинные, а не средние физические величины. Интегрирование (суммирование) уравнений элементарных балансов для всего аппарата с учетом условий на входе в аппарат или в начале процесса позволяет описать как результаты процесса, так и поля физических величин внутри аппарата. [c.54] Если модель линейна относительно подбираемых коэффициентов и рассчитывается только одна величина х, эффективность модё Ли можно строго оценить по критерию Фишера Когда найденная указанным в главе I образом величина Р = 8р/ э меньше критического значения критерия Фишера для выбранного уровня значимости (обычно 5%), модель можно считать адекватной. При Г, модель следует изменить. Поскольку величина используется достаточно часто, в табл. П-1 приведены ее значения. [c.55] Если же модель нелинейна относительно подбираемых коэффициентов, применение критерия Фишера становится неоправданным. В этом случае можно строго проверить адекватность модели, перейдя к линеаризованному относительно коэффициентов описанию. Последнее можно получить по линейной части разложения в ряд Тейлора, а для химических процессов и более простыми методами [2]. Прй таком подходе дискриминация моделей заключается в отбрасывании тех из них, для которых Р-Отдать же предпочтение какой-либо -модели с Р нельзя. Этот подход был использован для анализа моделей паровой конверсии метана было найдено, что из двенадцати предложенных в литературе моделей лишь четыре можно считать адекватными 13]. [c.55] Выполнение указанных условий не является достаточным. Необходимым условием служит ограниченность дисперсий и значимость коэффициентов с ,. .., с , что проверяется по ряду экспериментальных выборок в широком диапазоне изменения режимных парамет )ов. Если минимизацией F ъ г выборках найдены г наборов j. и определены оценки дисперсий сп slg, то приемлемым, в соответствии с накопленным опытом [1], можно считать отношение -s 0,1 — для предэкспоненциальных множителей. коэффициентов массо- и теплопереноса и Sa/ i 0,3 — для энергий активации. Это означает, что должно быть выполнено условие min F ( j,. .., с ) s b, где b — заданное число. [c.56] Только рассмотренный полу эмпирический подход, по-видимому, использован в прикладных работах. Имеются, однако, исследования по получению теоретических оценок адекватности моделей методами математической статистики, в частности, методом максимума правдоподобия [4, 5]. Такие методы развиты в основном для алгебраических моделей, но не нашли пока применения при практическом использовании моделей химико-технологических процессов. [c.56] Вернуться к основной статье