ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Развитие возмущений в направлении течения около вертикальной поверхности из "Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен Кн.2" Ниже мы выпишем сначала для нестационарного течения полные уравнения относительно составляющих скорости и(х, у, т), v x, у, т), температуры t(x, у, т), давления р х, у, т) и плотности р х, у, т), где через т обозначено время. Затем предположим, что возмущения и х, у, т), v x, у, т) и т. д. налагаются на стационарное основное ламинарное течение. Оно является стационарным в том смысле, что осредненные значения и, и и т. д., т. е. й х, у), u(x, у) и т. д., не зависят от промежутка времени, в течение которого производится осреднение, если он достаточно большой. [c.11] Эти уравнения позволяют исключить соответствующие члены из системы уравнений (11.2.10) — (11.2.13). Кроме того, в рамках обычного приближения пограничного слоя можно пренебречь всеми другими эффектами, влияющими на параметры основного потока. Они выражаются членами, которые содержат величину Рт в уравнении (11.2.И), а также вторые производные по х параметров течения й, V я I. [c.14] Второе предположение, приведенное выше, учитывает порядок величины малых возмущений и сводит задачу к линейному приближению. Это означает, в частности, что периодические колебания не приводят к возникновению гармоник и не влияют на параметры осредненного течения. Таким образом, в уравнениях можно пренебречь всеми членами, которые содержат любое произведение и и, I и (или) их производных. [c.14] Теперь вернемся к приведенному выше предположению 4, которое позволяет получить рассматриваемые здесь уравнения Орра — Зоммерфельда для амплитудных функций возмущений Ф и 5. Во-первых, считается, что эти функции аналогично параметрам основного потока и / зависят только от переменной подобия т], т. е. Ф = Ф(т]) и s = з(г]). Во-вторых, предполагается, что производные по х пространственного коэффициента усиления возмущения а, и длины волны возмущения к (или волнового числа г) пренебрежимо малы. [c.16] Как показывают результаты многочисленных надежных измерений, проведенных в вертикальных естественноконвективных течениях различного типа, эти утверждения справедливы в отношении трех величин Ф, 5 и а. Что касается длины волны возмущения л, то она значительно изменяется при распространении возмущения по потоку. Об этом свидетельствуют результаты тех же измерений, а также данные оптической визуализации течения (рис. 11.1.1). Такая ситуация и должна наблюдаться, поскольку частота Р считается в анализе, определяющем моды колебаний, постоянной, тогда как скорость основного течения возрастает с расстоянием х. [c.16] Получена система совместных уравнений шестого порядка. Три других граничных условия, которые ставятся при ti = О, зависят от конкретного типа рассматриваемого течения. Отметим, что уравнения содержат пять независимых параметров аг, а,-, со, Рг, G и что /(т)) и ф(г]) являются также функциями числа Прандтля Рг. [c.17] Светлыми значками обозначены частоты возмущений, измеренные в неустойчивом ламинарном течении частично или полностью зачерненными значками обозначены частоты возмущений, измеренные в области перехода при ламинарном режиме течения. [c.18] Таким образом, на нейтральной кривой имеем А— 0. [c.19] Аналогичные диаграммы устойчивости для плоских факелов и течений, развивающихся в условиях совместной естественной конвекции, рассматриваются в следующих разделах. [c.20] Асимптотические зависимости в области больших и малых чисел Прандтля, а также экспериментальные данные, Ьбозначенные значком +, заимствованы из работ (61, 63]. Остальные результаты измерений Q [125]. 0 [36], ф [87], V [138], О 54], Д [74]. [c.21] Установлено, что такое замечательное согласие результатов измерений и линейной теории устойчивости распространяется и на более тонкую структуру неустойчивых течений и процессов переноса, хотя и не во всем широком диапазоне условий, для которых проводились исследования таких течений жидкости. По-видимому, хорошее согласие теории и эксперимента для рассматриваемых течений объясняется тем, что усиление возмущений является в высшей степени селективным процессом и поэтому не очень сильно зависит от частностей конкретных физических условий. [c.22] В следующих разделах обсуждаются любопытные следствия такого механизма начальной неустойчивости течения. [c.22] В работе [103] тщательно проанализированы характеристики устойчивости естественной конвекции около вертикальной поверхности, температура которой линейно изменяется с расстоянием, что соответствует и=] в уравнении (3.5.24). При этом учитывались эффекты, связанные с изменением параметров течения по потоку, с устойчивой стратификацией жидкости и работой сил сжатия. Диаграммы устойчивости получены для естественной конвекции воздуха (Рг= 0,733). [c.22] В работе [3] теоретически исследовалось развитие продольного менение возмущений, т. е. предполагалось, что амплитуда возмущений изменяется синусоидально по времени и экспоненциально уменьшается или возрастает с расстоянием по потоку. Такой анализ развития возмущений отличается от чаще используемого на практике, когда рассматривается усиление возмущений по времени. В этом случае предполагается, что волновое число является действительным, частота представляет собой комплексную величину, а характеристики устойчивости соответствуют локальным параметрам основного течения. [c.22] НОГО роста возмущений. Такое сравнение подробно описывается в следующих разделах. [c.23] Для условий вынужденного течения анализ пространственного развития возмущений также использовался вместо анализа во временной области. Ландау и Лифшиц [92] считали пространственные моды физически более обоснованными. Гастер [44] проанализировал связь между результатами теории пространственного и теории временного развития возмущений. Он показал, что в случае малых коэффициентов усиления характеристики пространственного нарастания возмущений можно получить из скоростей временного нарастания возмущений. Ватсон [160] исследовал пространственно развивающиеся возмущения конечной амплитуды в плоском течении Пуазейля. В работе Гастера [45] рассматривалось развитие в ламинарном пограничном слое пространственно нарастающих возмущений, которые непрерывно генерировались источником колебаний, занимавшим фиксированное положение в пространстве и начинавшим действовать в момент времени т=0. Асимптотический анализ поведения таких возмущений показал, что через большой промежуток времени возмущение можно обнаружить лишь вниз по течению от источника колебаний. Более того, установлено, что в любой момент времени решения ограничены, так как амплитуда возмущений становится бесконечно большой при х оо, если при фиксированном значении х это наблюдается при т- оо. [c.23] Однако пространственный подход считается некоторыми исследователями небезупречным с математической точки зрения. Так, указывается [32], что в этом случае возникает неопределенность решений, поскольку пространственные моды не удовлетворяют временным граничным условиям в сечениях, расположенных далеко вверх и вниз по потоку от рассматриваемой области. Кроме того, наличие собственных значений а с а 0 не является необходимым условием неустойчивости пространственно развивающихся возмущений. Это связано с тем, что решения уравнений содержат пространственные моды, распространяющиеся в обе стороны от источника колебаний. Поэтому мода возмущения, соответствующая собственному значению с отрицательной величиной а , в области отрицательных х оказывается устойчивой. В результате не удается различить устойчивые и неустойчивые моды возмущения без решения задачи с начальными условиями [31]. [c.23] В этих работах делается различие между двумя типами неустойчивости, которые могут возникнуть. Рассмотрим импульсное возмущение, наложенное в начальный момент времени на течение в пределах ограниченной пространственной области. Оно может нарастать неограниченно по времени в каждой точке пространства. Такое явление получило название процесса абсолютной неустойчивости. Но импульсное возмущение может, распространяясь, затухать с течением времени в заданной точке пространства. Тогда мы имеем дело с конвективной неустойчивостью. [c.24] Стуррок [146, 147] пришел к выводу, что конвективная неустойчивость в основном связана с возмущениями такого же типа, как и пространственно нарастающие волны. При этом для системы уравнений, описывающих конвективную неустойчивость, решение в виде функций (11.2.26) может существовать лишь при определенной связи между м и а. Уравнение О (со, а)=0, при котором имеется решение, было названо дисперсионным. Существуют один или несколько корней этого дисперсионного уравнения, которые соответствуют нарастающим волнам при этом (О является действительным числом, а а —комплексным. Был предложен критерий, который позволяет определить, затухает или нарастает возмущение. Однако этим критерием нелегко воспользоваться, если дисперсионное соотношение не представлено в явной форме. [c.24] Бригс в работе [14] предложил другой критерий, чтобы определить, является ли мода с отрицательным значением а, действительно неустойчивой при х 0. Рассмотрим некоторую волну с комплексным собственным значением а = + / г и действительным значением со. Волна затухает или нарастает в зависимости от того, меняется ли знак а, при больших положительных значениях комплексной части величины т. Если знак меняется, то волна нарастает, в противоположном случае она затухает. В работе [148], где использован другой подход, получены те же выводы. [c.24] Вернуться к основной статье