ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Иерархия функций распределения из "Стохастические процессы в физике и химии" Функции позволяют вычислить все средние и, значит, определяют стохастический процесс (на самом деле эта спецификация в значительной степени избыточна, поскольку в соответствии с п. 3 любое конечное число функций Р может быть опущено без потери информации). Колмогоровым было доказано, что произвольный набор функций, удовлетворяющий четырем условиям непротиворечивости, определяет стохастический процесс Y t) в том смысле, как он был определен в 3.1. Следовательно, иерархия совместных плотностей вероятности дает еще одну равноценную возможность определить стохастические процессы, которая служит альтернативой определению, данному в гл. 1. Правда, в общем доказательстве конструкция переменной X, соответствующая данной иерархии, достаточно абстрактна. Однако, как разъясняется в 3.2, в физических приложениях X известно а priori. [c.68] По определению, Рц симметрична по парам переменных в множестве, содержащем k пар, и в множестве, содержащем I пар переменных. Эта условная вероятность также может трактоваться как вероятность в подансамбле тех выборочных функций, которые попадают в k заданных интервалов в моменты tf . [c.69] Обозначение G [/г]) подчеркивает, что G зависит от всей функции k, а не от ее значения в какой-либо определенный момент времени t. Сходимость интеграла не должна вызывать беспокойства, потому что класс функций к можно ограничить только теми из них, которые быстро убывают при достаточно больших t. [c.69] Необходимым, но отнюдь не достаточным условием для этого является независимость функции Pj yi) от времени. [c.69] Гауссов процесс полностью определяется его средни.м значением (/) и вторым моментом F (/,) F (/а) . Гауссовы процессы особенно просты в обращении и поэтому хорошо изучены. Их часто используют для приближенного описания таких физических процессов, при описании которых можно пренебречь кумулянтами более высокого порядка. В гл. 9 будет показано, что это предположение оказывается приемлемым во многих случаях, но гл. 9 и 11 показывают, что это отнюдь не всегда так. [c.70] Упражнение. Рассмотрите случай когда Р/, в (3.4.3) равны нулю. [c.70] Упражнение. Определение гауссова процесса было бы спорным, если бы оно было несовместно с 3.4. Покажите, однако, что когда некоторое гауссово, го гауссовы и все Рболее низкого порядка. Покажите также, что условные вероятности гауссовы. [c.70] Упражнение. Вычислите иерархию функций Р для процесса (3.1.7), полагая ф ( ) 0. Проверьте, что условия п. 1—4 удовлетворяются. [c.70] Упражнение. Выразите характеристический функционал процесса (3.1.7). через характеристическую функцию случайной переменной X. [c.70] Упражнение. Покажите, что настоящее определение стационарности через Р эквивалентно определению (3.1.3). [c.71] Покажите, что эти частные функции распределения снова определяют процесс X (/). [c.71] Вернуться к основной статье