ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Различные варианты постановки оптимальных задач для управляемых процессов из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Если математическое описание процесса содержит уравнения, в правые части которых входит независимая переменная t, то это описание можно легко представить в форме системы уравнений (VII, ), для чего достаточно ввести в уравнения еще одну переменную xm+i = t (стр. 187). [c.311] Начальное ° и конечное значения независимой переменной / в общем случае также могут быть не заданы в исходной постановке оптимальной задачи и подлежат определению в процессе ее решения. [c.312] В задачах о быстродействии требуется так выбрать управляющие воздействия в каждый момент времени, чтобы перевести процесс из заданного начального состояния в заданное конечное за минимальное время. Типичными примерами таких задач из области химической технологии служат задачи отыскания оптимальных программ управления периодическими процессами и близкие им задачи наибыстрейшего перевода процесса с одного режима эксплуатации на другой. Кроме того, целый ряд химико-технологических задач, как, например, задача выбора оптимального температурного профиля в реакторе вытеснения, можно также сформулировать как задачи о быстродействии. [c.312] Если интервал времени Ат, на котором оптимальное управление заменяется произвольным постоянным значением, выбран достаточно малым, то отклонение от оптимальной траектории тоже мало, Очевидно, что это отклонение уже может дать представление о том, оптимальна или нет исходная траектория. [c.314] Подставляя в уравнение (VII, 17) величину из выражения (VII, 16), получим . . [c.315] При вычислении коэффициентов системы уравнений в вариациях, т. е. производных dq i/dxh, необходимо иметь в виду, что эти производные изменяются вдоль всей траектории и характеризуются значениями Xi(t) и мопт(0. соответствующими оптимальной траектории процесса. [c.316] Полученное соотношение (VII, 38) и является аналитическим выражением принципа максимума. Оно означает, что в каждой точке траектории оптимальное управляющее воздействие должно выбираться из условия достижения максимального значения величины скалярного произведения [ р(дг, и)Д]. При этом оптимальное управление определяется как функция величин х и Я, т , е. как функция положения точки на траектории (/) и вектора нормали отсекающей плоскости h(t), проведенной через данную точку. [c.320] Для использования соотношения (VII, 38) при решении оптимальной задачи необходимо еще иметь уравнения, описывающие изменение вектора Я вдоль траектории. Для вывода этих уравнений потребуем дополнительно, чтобы скалярное произведение (VII, 33) было постоянной неположительной величиной для всей траектории, т. е. [c.320] Система (VII, 45) представляет собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Вследствие однородности общее решение этой системы находится с точностью до произвольного постоянного множителя. В частном случае, когда данный множитель принимается равным нулю, получается тривиальное (нулевое) решение. [c.321] При произвольном числе управляющих воздействий, т. е. когда размерность вектора управления r l, найденные выше соотношения будут справедливы, если в уравнениях (VII, 8) и (VII, 45) и в условии (VII, 38) управляющее воздействие и заменить на вектор управления и. [c.321] Согласно выражениям (VII, 50) и (VII,52) функцию Я иногда называют гамильтонианом, подчеркивая тем самым ее сходство С гамильтонианом уравнений движения материальной точки, в которых роль вектора k выполняет вектор импульса движения. [c.322] Свойства функции Н. Можно доказать [5], что функция Я, рассматриваемая как. функция независимой переменной t, т. е. вдоль траектории процесса, при оптимальном управлении uom(t] непрерывна и, кроме того, сохраняет постоянное значение вдоль всей траектории. [c.322] Отсылая читателя к доказательству непрерывности [5], рассмотрим лишь не очень строгое, но достаточно наглядное доказательство постоянства функции Я. С этой целью проанализируем выражение для полной производной от функции Я по независимой переменной t, которое имеет вид . [c.322] В приведенной формулировке не содержится никаких сведений о том, будут ли вообще существовать оптимальные управления и траектория и как их найти. Тем самым принцип максимума в данной формулировке представляет собой л цшь необходимое условие оптимальности. Однако показано [5], что при соблюдении некоторых добавочных ограничений на оптимизируемый процесс, которые, как правило, оказываются выполненными при решении практических задач, принцип максимума является также и достаточным условием оптимальности. Другими словами, если оптимальное управление найдено с использованием условия (VII, 47), то это управление действительно оптимальное и никакой дополнительной проверки оптимальности не требуется. [c.324] Можно показать, что задача минимизации (или максимизации) функционала (VII, 67) может быть сведена к рассмотренной выше задаче о быстродействии. Доказательство этого утверждения можно найти в литературе [4] для произвольного вида подынтегрального выражения функционала (VII, 67), а ниже приведен вывод конечных соотношений принципа максимума для случая, когда подынтегральная функция ф0(ж, и) в выражении функционала (VII, 67) является положительной и ограниченной функцией для всех значений к и и. [c.325] Тогда оптимальные задачи с заданными и неопределенными пределами интегрирования в выражении функционала (VII, 67) будут различаться между собой только заданием или отсутствием граничных условий для переменной xm+i- Более детально этот вопрос рассмотрен при обсуждении вычислительных аспектов принципа максимума (см. стр. 340). [c.326] Нетрудно видеть, что значение переменной со при / = /W совпадает с выражением функционала (VII, 67). [c.326] Поскольку предполагается, что функция сро(. и) положительна, переменная со будет монотонно возрастающей функцией t. [c.326] С учетом соотношения (VII, 72) переменные х и и в уравнениях математического описания процесса при этом будут рассматриваться как функции переменной со, т. е. [c.326] Для системы уравнений (VII,76) уже можно применить полученную выше формулировку принципа максимума для задачи о быстродействии, которая вследствие переменных (VII, 71) эквива лентна задаче минимизации функционала (VII, 67). [c.327] Вернуться к основной статье