ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ из "Математическая теория процессов переноса в газах" Обозначения, которые встречаются лишь на нескольких соседних страницах, в этот список, как правило, не включены. Цифры, следуюпще за кратким объяснением значения символа, указывают номер страницы, на которой данное обозначение встречается впервые. [c.11] Статистическая механика естественным образом делится на две области, одну из которых составляет исследование равновесных систем, а другую — неравновесных. В этой книге наше внимание будет сосредоточено на некоторых разделах неравновесной статистической механики. В частности, мы будем изучать разреженные газы, состояние которых лишь незначительно отклоняется от равновесного. Этот раздел неравновесной статистической механики обьино называется кинетыг ческой теорией. [c.15] Цель этой книги — дать изложение математических основ кинетической теории процессов переноса. Разумеется, для того чтобы представить проблему в виде, пригодном для математического исследования, необходимо сделать определенные предположения и ввести идеализацию это накладывает ограничения на область- применимости окончательных результатов. Хотя сейчас было бы преждевременно давать количественную оценку этих ограничений, нам представляется целесообразнь обсудить их по крайней мере качественно. [c.15] Мы видим, таким образом, что диапазон значений плотности, в котором с помощью уравнения Больцмана можно построить строгую математическую теорию процессов переноса в газах, весьма ограничен. Поистине удачей является то обстоятельство, что во многих физических ситуациях плотность газа удовлетворяет указанным вьппе ограничениям исключения представляют, с одной стороны, плотные газы и жидкости, а с другой — сильно разреженные газы. Указанные случаи будут рассмотрены отдельно. [c.16] Из математической физики хорошо известно, что часто правильное ош сание газа дают уравнения гидродинамики. Уравнения Навье—Стокса, являющиеся дифференциальными уравнениями в частных произ-водцых, описывают изменение макроскопически наблюдаемых величин — плотности, гидродинамической скорости и температуры — в зависимости от координат и времени и с успехом применяются для изучения газовых потоков. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы любое решение уравнений кинетической теории приводило к гидродинамическому описанию в тех случаях, когда есть основания полагать, что последнее справедливо. В соответствии с этим одна из наших задач состоит в выяснении того, при каких условиях уравнения гидродинамики можно рассматривать как аппроксимацию уравнения Больцмана таким образом мы установим область применимости уравнений гидродинамики. К счастью, метод Чепмена—Энскога дает нам не только решение уравнения Больцмана, но одновременно сводит конструктивным путем кинетическое описание к гидродинамическому. ПоэтомОГ исследование приближений, используемых при таком переходе, позволяет получить полное представление об условиях, при которых справедливо гидродинамическое описание газа. [c.16] Можно сказать, что все написанное выше лишь намечает в общих чертах содержание кинетической теории. Исследование различных проблем этой теории займет большую часть настоящей книги. [c.17] Исторически датой возникновения кинетической теории газов (как мы ее понимаем сегодня) следует считать 1859 г., когда Максвелл на заседании Британской ассоциации содействия развитию науки прочитал свой доклад, в котором был впервые использован статистический подход к проблеме. Максвелл отказался от принимавшегося ранее всеми авторами предположения о том, что все молекулы газа движутся с одинаковыми скоростями, и учел случайный характе р молекулярного движения. В 1860 г. в серии из двух работ [150] Максвелл опубликовал результаты исследований, в которых установил закон распределения скоростей молекул однородного равновесного газа (так называемое максвелловское распределение по скоростям) и закон равнораспределения средней энергии молекул в смеси газов. Эти результаты были впоследствии (в 1867 г.) уточнены и улучшены Максвеллом в работе [151], посвященной кинетической теории неоднородных газов. В ней Максвелл вывел уравнения переноса, определяющие полную скорость изменения любой средней величины, характеризующей то или иное молекулярное свойство. При этом Максвелл рассматривал газ, молекулы которого являются точечными центрами отталкивательных сил. [c.17] Пытаясь дать строгое обоснование максвелловского предположения о случайном характере молекулярного движения, Больцман в 1872 г. сформулировал и доказал Н-теорему [7]. Эта теорема выявляет необратимость физических процессов и показывает, что столкновения молекул приводят к увеличению энтропии системы любое начальное распределение по скоростям и координатам будет почти всегда стремиться к равновесному максвелловскому распределению скоростей молекул. В этой же работе Больцман вывел интегро-дифференциальное уравнение (известное ныне как уравнение Больцмана), которое описывает эволюцию функции распределения во времени и пространстве. Больцман показал, что найденные Максвеллом выражения для различных кинетических коэффициентов в газе, состоящем из максвелловских молекул, можно получить непосредственно, решая это интегро-дифференциальное уравнение. Построение формальной основы кинетической теории неоднородных газов было фактически завершено, когда Больцман в 1875 г. [8] и Лоренц в 1887 г. [136] обобщили Я-теорему, распространив ее на случай газа, находящегося в консервативном силовом поле. [c.18] Читатели, которые хотели бы более подробно познакомиться с этим ранним периодом истории кинетической теории, могут обратиться к книге [14], в которой содержатся переводы на английский язык многих упомянутых выше статей. [c.18] Благодаря исследованиям Максвелла, Больцмана, Стефана, Лан-жевена и других стало очевидно, что дать простое решение уравнения Больцмана можно лишь для газа, состоящего из максвелловских молекул. Во всех других случаях математические трудности и неясности оказались весьма существенными. Лоренцу в 1905 г. удалось привести уравнение Больцмана к достаточно простой форме [137] путем рассмотрения такой бинарной смеси молекул, в которой масса молекул одного сорта пренебрежимо мала по сравнению с массой молекул другого сорта и в которой можно пренебречь столкновениями между легкими молекулами. Его результаты, полученные в связи с исследованиями по теории электронов в металлах, являлись точными и имели большое значение однако работа Лоренца не давала никаких указаний на общий метод решения уравнения Больцмана. [c.18] Задачу подлинной разработки формализма, позволяющего найти решение уравнения Больцмана, независимо решили Чепмен и Энског вскоре после опубликования результатов Гильберта. Работа Чепмена, в которой используется метод Максвелла, основана на применении уравнений переноса, в то время как подход Энскога основан на построении решения уравнения Больцмана для функции распределения по скоростям. Оба метода приводят к одинаковым выражениям для кинетических коэффициентов. В двух статьях 1916 и 1917 гг. Чепмен [28, 29] вьшел формулы для коэффициентов вязкости и теплопроводности простого газа и газовой смеси, приняв (как и Максвелл), что для слабо неоднородного газа функцию распределения по скоростям можно записать в виде /=/ (1 + ф) при этом предполагается, что в однородном газе функция ф должна обращаться в нуль. Теория Энскога, опубликованная в его докторской диссертации [64] в 1917 г., основана на решении уравнения Больцмана с помощью разложения в ряд. Такой подход был впервые применен Гильбертом, который пытался разработать (к сожалению, безуспешно) аналогичный формализм, основанный на последовательных приближениях. [c.19] Дальнейший прогресс в разработке общей теории неоднородных газов обычных плотностей (т. е. газов при нормальных температурах и давлениях) связан с появлением в 1935 г. двух работ Бернетта [17,18], который рассмотрел второе приближение для функции распределения в простых газах и газовых смесях. Он развил метод, позволяющий вычислить функцию распределения в простом газе в любом приближении. [c.19] Боголюбов был первым, кому удалось (в 1946 г.) решить эту задачу [6]. Исходя из уравнения Лиувилля, описывающего временнздо эволюцию состояния газа в фазовом пространстве, Боголюбов установил существование различных временных масштабов, в каждом из которых состояние газа должно описываться с соответствующей степенью точности. Он показал, что обобщенное уравнение Больцмана получается в том случае, если описание ведется в довольно грубом временном масштабе, и что это обобщенное уравнение можно свести к исходному уравнению Больцмана, осуществив его разложение по плотности и сохранив только первый член. Этот результат открыл путь к систематическому построению кинетической теории с учетом трех и более частиц подобное обобщение было осуществлено Чо и Уленбеком в 1958 г. [35] и затем развито в 1966 г. Гарсиа-Колином, Грином и Чэосом [78]. [c.20] Грин в 1956 и 1958 гг. [89, 90] и Коэн в 1962 г. [37, 38] развили подход, в котором преодолевались некоторые формальные трудности метода Боголюбова. Эти авторы применили для вывода обобщенного уравнения Больцмана метод групповых разложений, развитый для плотных газов в равновесной статистической механике. Хотя в настоящее время этот подход далек от завершения, он представляется наиболее обещающим с точки зрения объяснения основ кинетической теории (см. [61]). [c.20] Поскольку большая часть задач о потоках газа при нормальных температурах и давлениях адекватно описывается уравнениями гидродинамики, важно понять связь между уравнением Больцмана и, скажем, уравнениями Эйлера или Навье—Стокса. Здесь следует упомянуть исследования Грэда, который в серии статей доказал, что уравнения гидродинамики эквивалентны асимптотической форме уравнения Больцмана. И в этом случае фундаментальную роль играет существование различных временных масштабов в гидродинамическом описании используется гораздо более грубый временной масштаб, чем в кинетической теории. В этой области еще многое предстоит сделать в частности, требуется тщательно изучить тесно связанные между собой вопросы о существовании и единственности решений начальных и граничных задач кинетической теории. [c.20] Для того чтобы этот обзор охватывал все важнейшие направления современной кинетической теории, надлежит упомянуть еще две другие ее области, а именно исследование потоков ионизованных газов и изучение динамики сильно разреженного газа. В течение двух последних десятилетий интерес к ионизованным газам существенно возрос. Стимулом для этого послужило развитие многих совершенно различных областей техники, каждая из которых имела свои особенности. В некоторых из этих областей теорию пришлось строить заново на основе первых принципов. Такой объект кинетической теории, как физика плазмы, охватывает чрезвычайно широкий диапазон явлений. Поэтому его большая часть остается за рамками настоящей книги. Однако определенные разделы этой области, в особенности те, которые связаны с исследованием течения ионизованных газов, можно с полным правом отнести к кинетической теории. Фактически, до тех пор пока влияние магнитного поля несущественно, можно применять теорию нейтральных газов, изменив лишь терминологию и обозначения. С другой стороны, при наличии магнитного поля возникает ряд новых проблем, которые, однако, можно рассматривать с помощью относительно простого обобщения метода Чепмена—Энскога. [c.21] При описании состояния газа можно использовать различные подходы. С одной стороны, газ можно рассматривать как совокупность отдельных молекул и исследовать их движение, используя формализм классической или квантовой механики. Ясно, что такая вычислительная задача практически неразрешима более того, избыточная информация, которая получается при этом подходе, бесполезна при решении любой представляющей интерес задачи. С другой стороны, можно применять самый грубый способ описания газа, сохраняющий достаточное количество интересующей нас информации газ, находяпщйся в равновесии, можно описывать методами термодинамики, тогда как для описания движущегося газа можно использовать обычные уравнения гидродинамики — уравнения Навье—Стокса. Как известно, последний способ описания очень удобен и чрезвычайно плодотворен, настолько, что одно время это обстоятельство препятствовало развитию теорий, основанных на представлениях о молекулярной природе материи, например статистической механики и кинетической теории. [c.23] Успехи последних теорий (изложение части которых составляет основное содержание книги) хорошо известны и говорят сами за себя. Остается открытым вопрос о том, насколько фундаментальной должна быть теория, которую следует рассматривать, и каких результатов следует от нее ожидать. Так, можно начать с изучения движения большого числа частиц и попытаться посредством каких-нибудь предположений и (или) приближений получить отсюда известные макроскопические уравнения, описывающие поведение газа в целом. Хотя такой путь и осуществим (и мы будем в основном следовать именно ему — см. 3.2—3.5), все же не ясно, что требуется для его полного обоснования. Фактически на практике использовался промежуточный подход, и, так как он существенно менее формален и легче усваивается, мы в этой главе изложим именно его, а более формальное рассмотрение отложим до гл. 3. Таким образом, в данной главе мы определим основную функцию, с которой будем работать далее — одночастичную функцию распределения, и выясним, как связаны с ней различные макроскопические характеристики газа. [c.23] Переменная t обозначает время. Мы будем говорить об интервале времени от / до как о промежутке йг. [c.24] что в обычном газе возможен такой выбор элемента объема с1 г, можно убедиться с помощью следующего примера. Поскольку в 1 см содержится около 3 10 молекул, то, если взять в качестве с1 г куб с ребром 10 см, в нем будет заключено примерно 3 101 молекул, а ребро куба будет достаточно мало по сравнению с расстоянием, на котором может изменяться любая макроскопическая величина (если не рассматривать ударные волны). [c.24] Вернуться к основной статье