ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ С ПОТЕРЯМИ ИЛИ ПРИТОКОМ ЭНЕРГИИ НА ФРОНТЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ И ЗАДАЧА О КОРОТКОМ УДАРЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА из "Подобие автомодельность промежуточная асимптотика Изд2" Сделаем теперь незначительную, на первый взгляд, модификацию рассмотренной в главе 2 задачи о сильном взрыве. [c.66] Здесь в дополнительном по сравнению с аналогичным уравнением для обычного сильного взрыва (см. главу 2) втором члене левой части 8 — интенсивность потерь (е 0) или притока (е 0) энергии за единицу времени в единице массы газа, проходящей через фронт. Как и раньше, р — давление, р — плотность, V — скорость газа, О — скорость распространения ударной волны, индексом f обозначены величины за фронтом волны, т. е. при r = rf — 0. Мы по-прежнему считаем также, что перед фронтом газ находится в покое при нулром давлении и имеет плотность ро асимптотический смысл такого начального условия уже выяснен в главе 2. [c.67] При VI =1 получается С = —оо это означает, что вся тепловая энергия частиц газа теряется на фронте. При возрастании у1 от единицы до 7 константа С возрастает от —оо до нуля доля теряемой энергии уменьшается. Случай у =у соответствует отсутствию потерь или притока энергии на фронте — нормальному сильному взрыву. При VI V имеет место приток энергии на фронте ударной волны. [c.67] Эти условия показателя адиабаты у не содержат. [c.67] Мы получили, таким образом, почти ту же задачу, что и раньше, с той, однако, разницей, что показатели адиабаты в условиях на фронте ударной волны и в уравнениях движения газа в непрерывной области различны. [c.68] Функции P, V, R должны удовлетворять той же системе обыкновенных уравнений, что и в обычной задаче о сильном взрыве, поскольку уравнения движения газа в области непрерывного движения не изменились и по существу той же осталась форма автомодельного решения, которое мы ищем. [c.68] Эти выражения — граничные значения функций Р, У, Я на фронте — отличаются от соответствующих граничных значений для случая обычного сильного взрыва (2.26) только тем, что вместо показателя адиабаты -у в них входит у. [c.69] Получившееся противоречие доказывает несуществование решения нашей задачи, имеющего форму (4.7) при у1 Ф у. [c.69] Выясним теперь, каким образом в численном эксперименте появилась автомодельная промежуточная асимптотика (4.10). [c.72] Класс автомодельных решений уравнений газодинамики, к которому принадлежит предельное решение исследуемой задачи (4.13), был указан К. Бехертом [ПО] и Г. Гудерлеем [134] и в дальнейшем рассматривался Л. И. Седовым [95] и другими авторами. [c.72] Таким образом, при у =у автомодельное предельное движение соответствует не точечному взрыву, т. е. не выделению в начальный момент в центре взрыва конечной порции энергии, а выделению в конечной области радиусом Яо порции энергии , стремящейся при Яо- О к нулю или бесконечности, в зависимости от знака р. [c.73] Параметр р, или, что то же, а, при данных V и VI можно определить двумя способами. Во-первых, можно проследить, (например, численно) эволюцию неавтомодельного решения исходной задачи до ее выхода на автомодельную асимптотику этот способ был продемонстрирован в предыдущем разделе. Во-вторых, можно воспользоваться тем, что автомодельная асимптотика сама является решением уравнений газодинамики, удовлетворяющим определенным условиям, и попытаться построить это решение и попутно определить показатель а. [c.73] Как видно, если построено нужное решение уравнения (4.18), решение уравнений (4.19) и (4.20) сводится к квадратурам. [c.74] Здесь использовано условие отсутствия притока вещества и энергии в центре взрыва при / 0. При этом автомодельная переменная в ходе перемещения от образа центра симметрии к образу фронта должна монотонно возрастать от нуля до единицы. Вообще говоря, при произвольном а удовлетворить этим условиям невозможно нельзя провести интегральную кривую уравнения первого порядка через две произвольные точки. Мы увидим, однако, что существуют такие исключительные значения а, для которых это возможно. Таким образом, мы снова пришли к нелинейной задаче на собственные значения построить интегральную кривую уравнения первого порядка (4.18), проходящую через две точки (4.22) и (4.23), и определить значение параметра а, при котором такое решение существует, т. е. собственное значение задачи. [c.74] На фронте волны достигается скорость звука, узел становится образом фронта. При этом приток энергии и температура на фронте оказываются зависяп ими от времени. Замечательно, что при 71 = 27+1 полученное решение также определяется неоднозначно. В частности, обычное решение задачи о сферической детонационной волне [40, 47], отвечающее а=1, т. е. постоянной скорости распространения волны, постоянному притоку энергии на фронте и постоянной температуре на фронте, также удовлетворяет всем условиям поставленной задачи существует и целое семейство решений с промежуточными а (37 + 3)/(б7+3) а 1. [c.76] При 71 27+1 скорость звука на фронте ударной волны становится меньше скорости газа относительно фронта. Поэтому при У1 2у+1 на фронте ударной волны следует задать еще одно дополнительное условие, и без такого условия решение сформулированной выше исходной задачи становится неединственным. [c.77] Единственным способом определения константы а остается в настоящее время прослеживание эволюции решения неавтомодельной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике. [c.77] Таким образом, численное интегрирование при взятых нами начальных условиях подтверждает, что асимптотикой решения исходной неавтомодельной задачи действительно является автомодельное решение, рассмотренное в предыдуш ем и этом параграфах. [c.78] Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует. [c.78] Вернуться к основной статье