ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Примеры интегрируемых систем, изоспектральные деформации из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Несмотря на исключительный характер интегрируемости, недавно было открыто довольно много интегрируемых гамильтоновых систем, скрытые симметрии которых оказались весьма неожиданными. Наиболее интересные из них представляются дифференциальными уравнениями в частных производных и, следовательно, имеют бесконечное число степеней свободы. [c.67] Нз-за недостатка места они не будут обсуждаться здесь, но некоторые из приведенных ниже систем могут рассматриваться как дискретный аналог соответствующих систем с бесконечными степенями свободы. [c.67] Этот факт был открыт Эноном и несколько позднее Фляшкой . Решения этой системы могут быть выражены в следующем виде задаются рациональными функциями от. .., с некоторыми различными постоянными Л . [c.67] Первоначальная цепочка Тода относится к случаю бесконечного числа частиц, но мы ограничимся случаем п оо (см. [5]-[8]). [c.67] Эта система имеет п рациональных интегралов в инволюции [9 (см. 4). [c.68] Как увидеть интегрируемый характер этих систем и скрытые симметрии, лежащие в основе их интегрируемости К решению этой задачи нет систематического подхода. Мы найдем различные причины, обуславливающие существование интегралов. В случаях пп. 1 и 2 интегралы находятся как собственные значения некоторого класса матриц, а дифференциальные уравнения соответствуют деформациям этих матриц, оставляющим спектр неподвижным (изоспектральные деформации). [c.68] В случаях пп. 3 и 4 для нахождения рациональных интегралов в инволюции мы используем геометрический факт о конфокальных квадриках. Он состоит в следующем если прямая касается п конфокальных квадрик в точках Р1,. .., то нормали к этим квадрикам в точках, Рп взаимно перпендикулярны. [c.68] Вернуться к основной статье