ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Анализ размерностей из "Процессы и аппараты химической технологии Том1 Явления переноса макрокинетика подобие моделирование проектирование" Выражение (2.21) настолько просто, что никакое дополнительное его упрощение невозможно. Зависимость (2.20) в некоторых случаях допускает дальнейшее упрощение, которое и приводит к автомодельному решению. Для этого достаточно, чтобы число линейно независимых уравнений масштабных связей было меньше числа преобразуемых переменных, т. е. [c.52] Существование и единственность решения краевой задачи принимаются априори, поэтому условие (2.22) означает здесь переход от двумерной задачи к одномерной (относительно новой переменной), т. е. к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Полезно подчеркнуть, что всякого рода интуитивные соображения при нахождении вида функции для одномерных задач и нового аргумента для двумерных задач здесь отсутствуют, поскольку для их определения применяется стандартная процедура. [c.53] Последняя зависимость может быть получена с помощью того же единственного опыта, который использовался для нахождения конкретного вида функции в выражении (2.29 ). [c.57] Следует подчеркнуть, что в случае численного исследования не существует никаких других возможностей оценить влияние того или иного параметра (критерия), кроме аналогичного приведенному. При использовании экспериментальных методов задача осложняется еще и естественным разбросом опытных точек относительно аппроксимирующих кривых под влиянием случайных ошибок. [c.57] Это соотношение определяет так называемые метрические преобразования величин. С формальной точки зрения эти пропорциональные изменения численного значения величины, связанные с переходом к другим единицам (метрическое преобразование), с одной стороны, и с рассмотренным в 2.2 подобным преобразованием явления (физическое преобразование) — с другой, полностью тождественны [1]. [c.58] Таким образом, всякая безразмерная величина — и только безразмерная величина — инвариантна по отношению к метрическим преобразованиям. При этом безразмерная величина может быть составлена как из одноименных (относительные переменные, параметрические критерии), так и из разноименных величин (числа подобия). [c.59] Уравнение содержит только независимо выбираемые множители преобразования первичных величин, поэтому единственный способ его удовлетворить заключается в том, чтобы приравнять все показатели степени нулю, т. е. [c.59] Общее число неизвестных п равно общему числу первичных и вторичных величин, т. е. п = т + г, а число уравнений — числу одних только первичных величин. Отсюда следует, что задача имеет не одно, а несколько различных решений, число которых равно п — т = г. [c.59] Иными словами, число безразмерных комплексов, которое можно составить из физически разнородных величин, равно их числу за вычетом числа первичных величин (т. е. п — т). Это положение обычно называют тт-теоремой Бэкингема. [c.60] Необходимо отметить, что полученное решение остается правильным независимо от того, сколько первичных величин входит в перечень величин, существенных для процесса. Пусть, например, величина не принадлежит к числу существенных. В таком случае в соответствующем уравнении (т. е. для г = к) придется положить а = 0. Однако само уравнение при этом не выпадает, а только несколько упрощается. [c.60] в случае стационарных процессов время не входит в число существенных величин. Но оно является одной из тех первичных величин, через которые определяется скорость, мощность, теплопроводность и т. п. Поэтому в системе уравнений (2.37) строка, соответствующая времени как одной из первичных величин, сохраняется и в условиях стационарного режима. [c.60] Как следует из тг-теоремы, число безразмерных комплексов при всех обстоятельствах равно п — т. Если все первичные величины входят в перечень существенных, то эта разность совпадает с числом вторичных величин. В противном случае п — т г. [c.60] Чтобы подчеркнуть, что в выражении (2.39) рассматриваются не численные значения величин, а их символы, все величины, а не только вторичные, берутся в прямые скобки. Такого рода коэффициенты пропорциональности называют размерными постоянными, так как они не зависят от реальных физических условий, а изменяются лишь при переходе к другим единицам измерения. [c.61] Существует принципиальная возможность исключить размерную постоянную из условий задачи. Для этого можно одну из первичных величин перевести в разряд вторичных, выбрав соответствующую единицу измерения. В этом случае второе из уравнений (2.38) становится для нее определительным (при условии В = 1). Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие высказанные положения. [c.61] Пример 1. Известно, что понятие количества теплоты сложилось в калориметрии и никак не связано с зависимостями механической природы. При исследовании процесса переноса теплоты в твердом теле, когда первоначальное калориметрическое представление о теплоте не вступает в противоречие с физическим содержанием задачи, количество теплоты следует отнести к числу первичных величин. В тех же случаях, когда существенны эффекты взаимного превращения теплоты и работы, эта величина подлежит переводу в число вторичных. Если же количество теплоты оставить в числе первичных, то совокупность величин, существенных для процесса, должна быть дополнена размерной постоянной (механическим эквивалентом теплоты). В научных исследованиях и публикациях теоретического характера в области естественных наук применяются оба варианта решения, хотя замена калории джоулем не создает осложнений, связанных с ломкой ранее установленной системы размерностей и единиц измерения. В инженерной практике согласно стандарту СЭВ 1052-78 должна использоваться Международная система единиц (СИ), в которой реализуется первое из рассмотренных решений. [c.61] Пример 2. Б системе первичных величин М, Ь, Т сила является вторичной величиной и вводится посредством определительного уравнения, основанного на втором законе Ньютона. Соответствующая формула размерности имеет вид [Р] = МЬТ . Законом же всемирного тяготения она определяется как величина, пропорциональная произведению масс взаимодействующих тел и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Поскольку имеются два уравнения, первое из которых уже принято в качестве определительного, то в условие задачи вводится размерная гравитационная постоянная с формулой размерности [Р] г М Ь Т. В данном случае попытка избавиться от этой постоянной с помощью перевода одной из величин в разряд вторичных нецелесообразна, так как требует коренного пересмотра всей системы размерностей. [c.61] Формулы размерности являются основой для определения структуры единиц вторичных величин, но не их размера, так как ничем не ограничивается свобода выбора каждой из основных единиц. Таким образом, в рамках данной системы размерностей возможно бесчисленное множество тождественных по структуре, но различных по размерам систем единиц измерения. Эти системы будут различаться также численными значениями размерных постоянных. Так, в системе С08 (см, г, с) численное значение гравитационной постоянной 7 = 6,67-10 см /(г-с ), а в системе СИ — 7 = 6,67 Н м /кг . [c.62] Пример 3. Число безразмерных комплексов, характерных для рассматриваемой задачи, находится сразу на основании тг-теоремы. Для определения их конкретной формы могут быть непосредственно использованы соотношения (2.33)—(2.37). [c.62] Рассмотрим эту процедуру на примере задачи о теплообмене при вынужденном обтекании тела протяженностью I несжимаемой жидкостью. Искомой величиной является средний коэффициент теплоотдачи а. Существенными для процесса, кроме того, являются величины скорость на бесконечном удалении от тела Ж, температурный напор г , изобарная теплоемкость Ср, теплопроводность жидкости Л и ее динамический коэффициент вязкости ц. Задача будет рассматриваться в системе первичных величин M,L,T,в,Q (кг, м, с, К, Дж). Количество теплоты Q отнесено к первичным величинам, поскольку взаимное превращение теплоты и работы здесь не рассматривается. Таким образом, общее число величин, существенных для процесса, п = 8. Число первичных величин п = 5. Число безразмерных комплексов, характерных для данного процесса, п-т = Ъ. [c.62] Теперь уравнение подобия для безразмерного коэффициента теплоотдачи можно представить в виде 81 = /х (Ре Рг) или в эквивалентной, но более привычной форме 8t = /2(Ке Рг), Nu = /з(Ке Рг). [c.63] Вернуться к основной статье