ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Элементы нелинейной теории термовязко-упругости из "Конструкционные полимеры Книга 1" Поведение многих полимерных материалов под нагрузкой (особенно при длительном действии ее) не вполне описывается линейными уравнениями теории термовязко-упругости, и, следовательно, для более точного исследования необходимы нелинейные теории [130]. [c.80] Изучение свойств и описание поведения полимерных материалов, вообще говоря, возможно на базе физической или феноменологической теорий. [c.80] Использование эмпирических соотношений или простейших реологических моделей для описания поведения под нагрузкой тел из полимерных материалов дает только грубое приближение. Поэтому для аналитических расчетов физически и геометрически нелинейных материалов необходима разработка уравнений состояния, достаточно общих для того, чтобы описывать как линейные, так и нелинейные реологические свойства. Именно этой цели служат феноменологические теории. [c.81] Феноменологические теории, как правило, основаны на постулировании в качестве главных (решающих) свойств лишь некоторых, обнаруживающихся у материалов в частных опытах, и, следовательно, не отражают полностью истинной природы их. Однако они, удерживая типичное из мира реального, охватывают широкий класс явлений действительности и притом открывают возможности формализации, а следовательно, позволяют использовать эффективные математические методы исследования не только качественной стороны тех или иных явлений, но и произвести количественное определение их основных характеристик, необходимых для оценки прочности и жесткости материала в той или иной ситуации. [c.81] Можно указать по крайней мере три подхода к построению нелинейной феноменологической теории термовязко-упругости. [c.81] Первый подход состоит в использовании теорий ползучести типа теории старения, течения или упрочнения. Связь между интенсивностью деформаций и временем при различных интенсивностях напряжений берется из серии кривых ползучести при некоторой характерной температуре (постоянной), а девиаторы напряжений и деформаций считаются пропорциональными. [c.81] Во всех случаях, отличных от ползучести при постоянной во времени нагрузке, при смешанных граничных условиях или при сложном нагружении этот подход, основанный на теории старения, строго говоря, будет неудовлетворительным, потребуется использование теории течения или теории упрочнения. В математическом отношении возникнут большие трудности, преодоление которых вряд ли будет оправдано и по физическим соображениям, поскольку для сложных нестационарных температурновременных процессов указанные теории не являются обоснованными. [c.81] Вопрос о тензорных соотношениях для малых и больших деформаций изотропных и анизотропных упругих и вязко-упругих сред, а также термодинамический анализ их достаточно полно освещен в монографии Гольденблата [37]. [c.82] Третий подход, с одной стороны, представляет развитие и обобщение теории вязко-упругости Больцмана—Вольтерра, изложенной в предыдущем параграфе, с другой стороны, опирается на существенно иные общие постулаты. [c.82] К первой группе исследований следует отнести многие публикации последних лет, среди них наиболее интересна работа Рив-лина и Эриксона [145] в ней предложена теория, использующая нелинейные дифференциальные операторы. Грин и Ривлин [146] и несколько позже Осами Накада [147] развивают функциональные методы, связанные с использованием наследственных интегралов. Чтобы ограничить общность проблемы, Ривлин [148] предложил соотношения, в которых напряжение связано с особой формой изменения деформаций, отражающей лишь частично историю, что намного упрощает исходную систему. [c.82] Характерная черта этой группы исследований состоит в том, что нелинейные свойства представляются в виде аддитивных поправок к линейным интегральным уравнениям типа Вольтерра, причем поправки носят характер малых параметров и выбираются так, чтобы обеспечивалась сходимость решений, построенных разложениями по малым параметрам [149]. С точки зрения представления функционалов, в достаточно общем смысле близких к линейным (имеющих отличные от нуля первые обобщенные дифференциалы), разность общей и мгновенной линейной упругой деформаций (девиатор деформации, объемная деформация), являющуюся функционалом напряжения (девиатора напряжения, среднего напряжения), можно представить в виде суммы линейного оператора от напряжения и операторов, которые назовем обменными. [c.82] Далее мы будем рассматривать только зону жесткого поведения полимерных материалов, т. е. тот диапазон температур, в котором существенными являются упругие и вязко-упругие свойства. В этой зоне, весьма интересной для практических приложений, рассмотрим область малых деформаций, в которой вязко-упругие свойства полимерных материалов можно считать линейными, и область малых деформаций, в которой становится существенной нелинейность вязко-упругих свойств. [c.83] Разработана замкнутая квазилинейная теория вязко-упругости тел °, обладающих физической нелинейностью [135, 136]. В ней установлены все основные взаимно однозначные соотношения между тензорами напряжений и деформаций и временем. Даны временные соотношения между инвариантными характеристиками процессов сложного нагружения. [c.83] Получены интегральные уравнения, связывающие между собой вторичные ядра ползучести и релаксации, установлена их связь с соответствующими ядрами линейной теории. Выяснены сингулярные особенности ядер и выделены главные их части. Даны примеры возможных выражений вторичных ядер и выяснены их общие свойства. [c.83] Используя средства функционального тензорного разложения, можно построить полный тензорный базис и, следовательно, получить наиболее общие соотношения о е, однако они крайне сложны [130]. [c.83] На рис. 1.38 вдоль прямой линии показан интервал времени — о, показаны промежуточные моменты времени и под ними указаны значения напряжений с различными индексами. [c.84] Мы хотим изучать какую-нибудь функцию процесса в момент времени t, например деформацию, которая произошла к этому моменту времени. Деформация в момент 1 образована действием всей совокупности импульсов напряжений 8ij(tk)Ath. [c.84] Следующим приближением будет совместное влияние двух предшествующих импульсов напряжений 5,,- в моменты ip и Это влияние будет пропорционально произведению импульсов в соответствующие моменты времени, умноженному на совместную функцию влияния пары. Следующим приближением будет совместное влияние трех импульсов напряжений, действующих в три разных момента времени, с функцией влияния совместного действия трех этих напряжений и т. д. [c.85] Свойства квазилинейности состоит в следующем пусть изучаемая величина Zij является тензорной, симметричной и имеет индексы //, тогда указанное выще соотнощение должно быть линейным относительно напряжения с индексами Значит, напряжение Sij должно содержаться во всех слагаемых, начиная с линейного, в квадратичном, в кубическом и т. д. [c.85] Вернуться к основной статье