ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Планы первого порядка по Боксу из "Теория технологических процессов основного органического и нефтехимического синтеза" Для нахождения коэффициентов уравнений первой степени и неполных квадратных уравнений Бокс предложил использовать план, называемый полным факторным экспериментом. Он представляет собой центральный ортогональный план все его точки расположены вокруг некоторого центра таким образом, что матрица независимых переменных оказывается ортогональной, т. е. произведение любых двух столбцов равно нулю. Доказано, что такой план является ротатабельным, т. е. ошибки в определении функции отклика во всех точках плана одинаковы это означает, что все экспериментальные результаты одинаково надежны (имеют одинаковый статистический вес), а опытная дисперсия может быть оценена повторением любого из опытов плана. [c.432] Пример. Закодировать переменные при планировании эксперимента по Боксу для нахождения зависимости степени конверсии у от температуры Хх и давления Х2 в реакторе. Температура меняется от 400 до 450 °С, давление от 5 до 15 кгс/см2 (0,5—1,5 МПа). [c.433] В записи матрицы плана цифру 1 опускают, оставляя лишь знак -Ь или — . [c.433] Геометрическая интерпретация этого плана представлена на рис. 109. Он представляет собой квадрат со сторонами, равными двум единицам масштаба по каждой оси, и вершинами, соответствующими параметрам опытов. Результаты опытов в этих точках ограничивают некоторую область поверхности отклика. [c.434] Примером может служить матрица полного факторного эксперимента типа 2 , приведенная в табл. 21. В отличие от рис. 109, точки этого плана располагаются уже не на плоскости, а в пространстве по вершинам куба. При дальнейшем увеличении числа переменных это будет уже гиперкуб в к-мерном пространстве. [c.434] Здесь и далее индекс I относится к номеру независимого переменного, а / — к номеру опыта. [c.435] Ортогональность матрицы планирования придает планам Бокса ряд очень полезных свойств, вытекающих из того, что при расчете по общему уравнению регрессионного анализа (П-172) информационная матрица (.угд ) получается диагональной с одинаковыми элементами, равными числу опытов плана М, а матрица ошибок (Х Ж)- содержит только элементы 1/Л , расположенные также на главной диагонали. Все ковариации в этом случае равны нулю, т. е. оценки коэффициентов регрессии оказываются статистически независимыми. [c.435] Свободный член уравнения регрессии представляет собой, согласно (П-177), среднее арифметическое всех значений yj, полученных в эксперименте. Остальные коэффициенты рассчитывают, относя к числу опытов плана сумму произведений каждого из значений tfj на величину соответствующего фактора в /-ом опыте ( + 1 или —1). Таким же образом вычисляют и коэффициенты при произведениях факторов. [c.436] Это важное свойство объясняется особенностью многофакторного эксперимента, в котором каждый коэффициент регрессионного уравнения оценивается по результатам всех без исключения, а не кар1х-то отдельных пар опытов. [c.436] Если данный коэффициент по абсолютной величине меньше доверительного интервала, содержащий его член исключается из уравнения. При этом оценки остальных коэффициентов не изменяются (в отличие от пассивного эксперимента, где в этом случае необходим пересчет всех результатов). [c.437] Полученное уравнение проверяют далее по / -критерию оценивая его адекватность. Естественно, что это возможно только при наличии некоторого числа степеней свободы. Если по результатам реализации матрицы планирования оценивались не только линейные члены, но и все возможные взаимодействия, такой насыщенный план не имеет степеней свободы, и расчетные значения у, точно совпадут с экспериментальными (аналогично проведению прямой по двум точкам). [c.437] Одним ИЗ важных случаев применения планов первого порядка является исследование кинетики реакций по начальным скоростям. [c.438] Независимыми переменными здесь следует считать обратную абсолютную температуру и логарифмы начальных концентраций реагентов (включая логарифм концентрации катализатора, если он присутствует) функцией отклика будет логарифм начальной скорости реакции. [c.439] Уравнение (II-182) содержит только линейные члены, поэтому все произведения факторов должны быть при обработке отброшены, как не имеющие физического смысла. Адекватность полученного линейного уравнения позволяет найти порядки по реагентам и активационные параметры для этого необходимо раскодировать факторы по уравнению (П-174) с учетом (П-182). [c.439] При увеличении числа независимых переменных ненасыщенность полных факторных экспериментов (число степеней свободы) возрастает очень быстро, так как увеличение числа факторов на единицу повышает число опытов в два раза. При этом для наиболее частого случая (получение линейного уравнения с членами только первой степени) число степеней свободы, оставляемых полным факторным экспериментом, составляет для к = 2 и N = А одну степень свободы, для /с = 3 и = 8 четыре, для к = 4 и 16 одиннадцать и т. д. Очевидно, что получение линейного уравнения первой степени уже с четырьмя независимыми переменными с помощью полного факторного эксперимента вида 2 нецелесообразно, так как требует слишком большого числа опытов. [c.440] Вернуться к основной статье