ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Автоколебания и предельные циклы из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Отсюда следует, что рис. -3 и -4 можно рассматривать, как возможные варианты фазовых портретов полимеризационного реактора, обладающего соответственно одним устойчивым положением равновесия или тремя положениями равновесия, из которых неустойчиво только седло. [c.132] Еслн полимеризационный реактор обладает пятью положениями равновесия, из которых два — седла (С1 и С2), а три — устойчивые узлы (/, //, ///), то его фазовый портрет в простейшем случае имеет вид, изображенный на рис. IV-б. [c.132] В остальных случаях для по-стро ия фазовых портретов необходимо использовать некоторые сведения о предельны. циклах и бифуркациях динамических систем. Эти сведения в самом кратком изложении приводятся ниже. [c.133] Кроме неустановившихся процессов и устойчивых стационарных состояний в динамических системах может осуществляться периодическое изменение величин, характеризующих состояние системы, т. е. незатухающие колебания этих величин. На фазовой плоскости периодическому процессу соответствует движение изображающей точки по замкнутой траектории. [c.133] Простейшая математическая модель автономной системы, приводяидая к периодическим процессам, — это гармонический осциллятор. Фазовая плоскость гармонического осциллятора подобна фазовой плоскости, изображенной на рис. 1-4, и содержит континуум вложенных друг в друга замкнутых фазовых траекторий. [c.133] Однако, как уже указывалось в главе I, гармонический осциллятор — это негрубая система, которая не может быть использована в качестве математической модели реальных незатухающих колебаний об этом говорит, в частности, то обстоятельство, что в так называемых консервативных системах, к которым относится гармонический осциллятор, амплитуда и, в общем случае, период колебаний зависят от начальных условий. [c.133] Системы, в которых при известных условиях могут осуществляться автоколебания, называют автоколебательными системами. К ним относятся часы, ламповый генератор, электромагнитный прерыватель и другие. Одним из необходимых признаков автоколебательных систем является наличие в них обратной связи, благодаря которой система управляет поступлением энергии от непериодического источника. [c.134] Автоколебательные процессы не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями в этом смысле можно сказать, что автоколебательные системы принципиально нелинейны. [c.134] Как было показано А, А. Андроновым , математическим образом автоколебаний на фазовой плоскости являются предельные циклы — изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым изнутри и снаружи приближаются фазовые траектории, имеющие форму спиралей. Такие предельные циклы называются устойчивыми. На рис. 1У-7 изображен устойчивый предельный цикл, охватывающий неустойчивое положение равновесия типа фокуса. [c.134] Наличие устойчивых предельных циклов в фазовом портрете исследуемой системы является необходимым и достаточным условием того, чтобы система была автоколебательной. [c.134] Неустойчивые предельные циклы, так же как и другие особые фазовые траектории, участвуют в разделении фазовой плоскости на области притяжения того или иного устойчивого положения равновесия или устойчивого предельного цикла. Например, в случае, показанном на рис. 1У-8, неустойчивый предельный цикл является границей области притяжения устойчивого положения равновесия (на р сунке эта область заштрихована). [c.135] На рис. 1У-9 изобра- . [c.135] В этом случае неустойчивый предельный цикл является границей заштрихованной на рисунке области притяжения устойчивого предельного цикла. [c.135] Для построения фазового портрета системы необходимо определить, содержит ли ее фазовая плоскость предельные циклы, сколько их, какова их устойчивость и расположение. Большой практический интерес представляет также вопрос об амплитуде и периоде автоколебаний, соответствующих устойчивым предельным циклам. [c.135] Приведем некоторые достаточные критерии наличия (или, наоборот, отсутствия) предельных циклов. [c.135] Если в некоторой односвязной области фазовой плоскости выражение дР/дх + dQjdy не меняет знака, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий. [c.136] Существует ряд критериев, позволяющих установить наличие и в некоторых случаях местоположение предельных циклов, если известно поведение фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости. Приведем следующий критерий. [c.136] Если система обладает единственным неустойчивым положением равновесия типа узла или фокуса, а бесконечность неустойчива или существует цикл без контакта, охватывающий положение равновесия и притом такой, что все фазовые траектории входят в ограниченную циклом область, то положение равновесия окружено по крайней мере одним устойчивым предельным циклом. [c.136] Следует отметить, что при выполнении этого критерия на фазовой плоскости, вообще говоря, может суи ествовать не один устойчивый предельный цикл, а нечетное число циклов, вложенных друг в друга, из которых устойчивых на один больше, чем неустойчивых. Поэтому, когда в подобных случаях на фазовом портрете изображают один устойчивый предельный цикл, то обычно указывают, что портрет приведен с точностью до четного числа циклов. [c.136] Вернуться к основной статье