ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Автоколебания и предельные циклы из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Кроме неустановившихся процессов и устойчивых стационарных состояний в динамических системах может осуществляться периодическое изменение величин, характеризующих состояние системы, т. е. могут происходить незатухающие колебания. На фазовой плоскости незатухающим колебаниям будет соответствовать дви- жение изображающей точки по замкнутой траектории. [c.110] Простейшая математическая модель автономной системы, приводящая к периодическим процессам, — это гармонический осциллятор. Фазовая плоскость гармонического осциллятора подобна фазовой плоскости, изображенной на рис. 1-4, и содержит континуум вложенных друг в друга замкнутых фазовых траекторий. [c.110] Однако, как уже указывалось в главе I, гармонический осциллятор— это негрубая система, которая не может быть использот вана в качестве математической модели реальных незатухаюидах колебаний об этом говорит, в частности, то обстоятельство, что в так называемых консервативных системах, к которым относится гармонический осциллятор, амплитуда и, в общем случае, период колебаний зависят от начальных условий. [c.110] Незатухающие колебания, возникающие в реальных системах за счет непериодических источников энергии, являются автоколебаниями. Они отличаются той особенностью, что их амплитуды и периоды в широких пределах не зависят от начальных условий и определяются параметрами системы. [c.110] Системы, в которых при известных условиях могут осуществляться автоколебания, называют автоколебательными системами. К ним относятся часы, ламповый генератор, электромагнитный прерыватель и другие. Одним из необходимых признаков автоколебательных систем является наличие в них обратйой связи, благодаря которой система управляет поступлением энергии от непериодического источника. [c.111] Автоколебательные процессы не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями в этом смысле можно сказать, что автоколебательные системы принципиально нелинейны. [c.111] Как было показано А. А. Андроновым [7, 8], математическим образом автоколебаний на фазовой плоскости являются предельные циклы — изолированный замкнутые фазовые траектории, к которым изнутри и снаружи приближаются фазовые траектории, имеющие форму спиралей. Такие предельные циклы называются устойчивыми. На рис. 1У-2 изображен устойчивый предельный цикл, охватывающий неустойчивое положение равновесия типа фокус. [c.111] Наличие устойчивых предельных циклов в фазовом портрете исследуемой системы является необходимым и достаточным условием автоколебательности системы. [c.111] На рис. 1У-4 изображен фазовый портрет системы, обладающей двумя циклами — неустойчивым и устойчивым, вложенными один в другой, и охватывающими неустойчивое положение равновесия. В этом случае неустойчивый предельный цикл является границей заштрихованной на рисунке области притяжения устойчивого предельного цикла. [c.112] Для построения фазового портрета системы необходимо определить, содержит ли ее фазовая плоскость предельные циклы, сколько их, какова их устойчивость и расположение. Большой практический интерес представляет также вопрос об амплитуде и периоде автоколебаний, соответствующих устойчивым предельным циклам. [c.112] Общих методов, позволяющих дать ответ на все эти вопросы, к сожалению, не существует. Однако в ряде случаев могут быть применены приближенные методы, разработанные в теории нелинейных колебаний. Сведения о них можно найти в книгах (1 4 5 9], а также в обзорах [10—12]. [c.112] Приведем некоторые достаточные критерии наличия (или, наоборот, отсутствия) предельных циклов у системы, описываемой уравнениями (IV, 1). [c.112] Существует ряд критериев, позволяющих установить наличие и в некоторых случаях местоположение предельных циклов, если известно поведение фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости. Приведем следующий критерий. [c.113] Если система обладает единственным неустойчивым положением равновесия типа узел или фокус, а бесконечность неустойчива или существует цикл без контакта, охватывающий положение равновесия и притом такой, что все фазовые траектории входят в ограниченную циклом область, то положение равновесия окружена по крайней мере одним устойчивым предельным циклом. [c.113] При выполнении этого критерия на фазовой плоскости, вообще говоря, может существовать не один устойчивый предельный цикл,, а нечетное число циклов, вложенных один в другой, из которых число устойчивых будет на один больше, чем неустойчивых. Поэтому, когда в подобных случаях на фазовом портрете изображают один устойчивый предельный цикл, то обычно указывают, чта портрет приведен с точностью до четного числа циклов. [c.113] Если исследуемая система является грубой, то сформулированный выше критерий остается справедливым и тогда, когда имеется не одно, а несколько положений равновесия, но все они неустойчивы. [c.113] Иногда для разрешения вопросов о местоположении предельного цикла и характере автоколебаний может оказаться полезным численное или графическое интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, а также использование аналоговых устройств для построения осциллограмм и фазовых траекторий. [c.113] Вернуться к основной статье