ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Оптимизация при эмпирическом подходе из "Введение в моделирование химико технологических процессов " Одна из основных идей оптимизации при эмпирическом подходе заключается в следующем. Мы движемся в п-мерном пространстве независимых переменных, причем не непрерывно, а шагами. Каждый шаг — опыт. Сравнивая результаты данного опыта с результатами предыдущих, принимаем решение о дальнейших действиях по поиску оптимума. Это основа алгоритмов шаговой оптимизации. Другой применяемый прием получение эмпирической математической модели Б исследуемой области и нахождение экстремума расчетом на основе этой модели. [c.197] В простейшем случае каждое AxJ (при / = 1, 2, га) остается постоянным на протяжении поиска оптимума — это поиск с постоянным шагом. Иногда целесообразно изменять некоторые или даже все АХ - например, по мере приближения к оптимуму уменьшать шаги, чтобы точнее его фиксировать. [c.197] Чтобы не делать множество оговорок, будем во всем этом разделе полагать, что цель поиска — максимум. Поиск минимума проходит так же, меняется только знак. [c.197] Способы движения к оптимуму будут проиллюстрированы рисунками, на которых изображены зависимости Кот от всех Х . Но экспериментатор, приступая к опытам, не знает этих зависимостей. Он начинает поиск вслепую. [c.197] Необходимо также иметь в виду, что в эксперименте обязательно присутствуют два неформализованных момента выбор начальной точки (условий первого опыта) и выбор шага. Здесь обязателен учет физико-химических свойств системы, особенностей технологии и методов измерения, уже имеющихся данных — всего того, что в теории эксперимента называют априорной информацией, т. е. информацией, имеющейся в нашем распоряжении к началу опытов. [c.197] Изложение методов оптимизации начнем со случая, когда оптимизирующий фактор — один, т. е. Кот — функция одной переменной. Расскажем здесь о методе, который, не являясь наиболее эффективным с точки зрения статистики, очень несложен по идее и просто реализуется в системе автоматического управления. [c.197] Обратимся к рис. 33.1. На нем показана зависимость Кот от х-Пусть первый опыт поставлен при х = х . Затем мы делаем шаг Ал в произвольном направлении — в данном случае в точку х = х — и ставим второй опыт. Результаты этих двух опытов сравниваются. [c.197] После пятого — шестого опыта ситуация становится неопределенной. В результате приближения к оптимуму наклон кривой уменьшился. Следующее значение Кот слабо отличается от предыдущего когда разница между ними достигает порядка ошибки опыта, решить, какое значение больше, уже невозможно. За оптимум можно принять любое из них. С этим явлением — трудностью различения результатов вблизи оптимума — приходится сталкиваться часто. [c.198] На основе описанного способа строят регуляторы, осуществляющие автоматический поиск экстремума. Регулятор изменяет управляющее воздействие на Дл и сравнивает полученное значение Кош с предыдущим, зафиксированным в запоминающем устройстве регулятора. Если новое значение больше предыдущего, оно запоминается и в этом направлении делается еще шаг. Если меньше — делается шаг в обратном направлении. [c.198] Если разница между последовательными значениями Кош меньше заданного предела чувствительности (оптимум близок), возможны два варианта. Либо система покачивается взад — вперед (см. рис. 33.1 — т Хв в XI и обратно) до тех пор, пока вследствие каких-либо изменений не произойдет смещение оптимума — тогда регулятор снова поведет режим к новому оптимуму либо после нескольких качаний автомат на какое-то время стабилизирует режим, а затем снова включается устройство поиска оптимума (опять-таки на случай смещения экстремальной точки). [c.198] Экстремум функции нескольких переменных. Разбор этого вопроса проведем на примере функции двух переменных — этот случай можно изобразить графически. Рассматриваемые методы без труда распространяются на функции любого числа переменных. [c.198] Первый метод, которым часто пользуются в подобных ситуациях, основан на следующем. Экспериментатор как бы сводит задачу к предыдущей — поиску максимума функции одной переменной. Опыты разбиваются на серии, в каждой из которых меняется лишь один фактор, а все остальные фиксируются на определенных уровнях. [c.199] Например, экспериментатор начинает с режима, обозначенного на рис. точкой 1. Выбор основан на его интуиции скорее всего этот режим далек от оптимального. Чтобы найти оптимум, экспериментатор решает вначале выяснить, как влияет на выход температура. Не меняя давления, он проводит опыт при более высокой температуре (точка 2). При этом выход понижается. Тогда следующие опыты проводятся при том же давлении, но более низкой температуре (опыты 4, 5 и 6). Наилучший из них — пятый. [c.199] Зафиксировав температуру лучшего опыта, экспериментатор начинает изучать, как при этой температуре влияет на выход давление. При температуре опыта 5 проводятся опыты 7 и 5 лучший результат дает опыт 7. Далее проводятся опыты при том же давлении, что и в опыте 7, но снова варьируется температура и т. д. [c.199] Главный, кардинальный недостаток метода Гаусса — Зайделя — медленность движения к оптимуму. Даже в изображенной на рисунке ситуации, когда влияют лишь два параметра, оптимум будет достигнут после проведения большого числа опытов. Если же влияет много факторов, скажем, шесть, то уже первый цикл варьирования переменных будет содержать 6 серий опытов, а таких циклов может потребоваться довольно много. Метод оказывается неэффективным. [c.200] И из уравнения (33-2) можно определить, в каком направлении величина у возрастает с наибольшей скоростью. В этом направлении и нужно двигаться, чтобы скорее достичь оптимума. Поэтому на самом первом этапе экспериментатор проводит небольшую серию опытов в близких окрестностях точки 1, чтобы рассчитать уравнение (33.2) и определить направление градиента. Расчет проводится методом наименьших квадратов, причем наиболее целесообразно провести опыты по схеме полного факторного эксперимента 2 (см. раздел 29). [c.201] Движение в этом направлении (крутое восхождение) продолжается до тех пор, пока результаты улучшаются от опыта к опыту. Когда был поставлен опыт 9, выяснилось, что его результаты хуже, чем в опыте 8. Это связано с тем, что приближение нашей поверхности плоскостью, принятое при выводе уравнения (33.2), достаточно грубо. По мере удаления от точки 1 направление движения отклоняется от истинного направления градиента. Поэтому, вернувшись к точке 8, экспериментатор ставит вокруг нее новые четыре опыта (с 10 по 13), снова рассчитывает направление градиента и начинает двигаться в этом направлении. На этот раз достигается уже высокий выход и дальше можно сделать одно из двух либо удовлетвориться результатом опыта 20, либо планировать дальнейшие эксперименты. Но в последнем случае линейное уравнение уже не годится для описания поверхности, так как точка экстремума близка. Здесь даже малые ошибки опытов очень сильно исказят направление градиента. Так, вдали от вершины холма легко определить, в какую сторону направлен уклон, а около вершины определение становится неточным даже маленький камешек, попавший под ватерпас, исказит направление. [c.202] В окрестностях экстремума приходится применять планы не ниже 2-го порядка. Получив описание поверхности в виде полинома 2-го порядка, можно продифференцировать его и определить координаты оптимальной точки. Таким образом, в методе Бокса — Уилсона стратегия эксперимента меняется. Пока опыты ставятся вдали от точки оптимума, мы довольствуемся упрощенным линейным описанием. Это позволяет по малой серии опытов определить направление градиента и двинуться к оптимуму в этом направлении — по кратчайшему пути . Такое движение, как правило оказывается много эффективнее, чем применение метода Гаусса — Зайделя. А вблизи оптимума, т. е. в наиболее интересной для нас области, реализуется план 2-го порядка — таким образом, эта область оказывается изученной более подробно. [c.202] В случае более чем двух факторов поиск экстремума проводится таким же образом. [c.202] Вернуться к основной статье