ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Алгоритмы, основанные на решении последовательности вспомогательных экстремальных задач из "Оптимальное управление процессами химической технологии" Алгоритм проекции градиента. [c.141] Первоначально поясним этот алгоритм на конечномерной задаче. [c.141] а с другой, критерий оптимальности I рос бы вдоль этого направления быстрее, чем вдоль любого другого. Естественно, что подобную задачу можно ставить лишь по отношению к множеству линеаризации Ь, окружающему у , так как в нелинейных задачах при переходе от одной допустимой точки к другой, направление наискорейшего роста I вдоль В меняется. [c.141] Так как бу б, а вектор у/о (у ) не зависит от бу, то скалярное произведение из правой части выражения (1П-17а) максимально, когда минимален угол между бу и у/о (у ). Вектор бу должен лежать в плоскости BL , касательной к поверхности В в точке у . Минимальный угол с градиентом /о имеет тот из векторов, принадлежащих В , направление которого совпадает с направлением проекции градиента /о на эту плоскость. [c.141] Условия (III-18) говорят о том, что множество векторов 8у образует подпространство, касательное к D в у . В зависимости от вида нормирования, использованного в формуле (III-17), мы получаем задачу линейного или выпуклого программирования. Действительно, целевая функция и ограничения (III-18) в этой задаче линейны относительно 8у, а условие (III-17), как следует из общих свойств операции нормирования [15], выделяет выпуклое множество. [c.142] Известно, что в задаче выпуклого программирования любое решение, удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности, соответствует значению задачи, поэтому во вспомогательной задаче необходимые условия оптимальности определяют 8у. Следующие из этих условий уравнения оказываются гораздо проще, чем соответствующие уравнения в основной задаче. [c.142] Величина К должна находиться в пределах 0,95 ЛГ 0,7. Если К 0,95, то шаг увеличивают, например, вдвое если меньше 0,7 — уменьшают во столько же раз. Аналогичный подход к выбору шага поиска возможен и для задач с фзпнкциональ-ными составляющими решения (см. ниже). [c.143] Примечание 2. Использование способов нормирования 2 и 4 приводит к вспомогательной задаче линейного программирования. Алгоритмы ее решения и.зложепы в работах [29] и др. [c.144] Последовательность вычислительных операций в алгоритме проекции градиента применительно к задаче нелинейного программирования и задаче общего вида отражена в табл. 111,3. [c.145] Точно так же через соответствующие слагаемые функции Лагранжа исходной задачи для всех связей, приведенных в табл. 11,2, и критериев оптимальности, сведенных в табл. 11,1, могут быть найдены слагаемые функции для линеаризованной задачи. [c.146] Некоторые виды нормирования функций и соответствующие им слагаемые R, представлены в табл. 1П,2. [c.147] Совместно с линеаризованными уравнениями связей и ограничений N уравнений (111-26) определяют Ьу () и неопределенные множители % I). Причем величина множителя соответствующего выражению (П1-17а), не сказывается па направлении поиска этот множитель имеет отрицательный знак. [c.147] Функционал Ф, минимизируемый для возврата в допустимую область, представляет собой норму, например сумму квадратов невязок, подсчитанных для всех условий задачи. Если невязка является функцией то ее интегрируют от нуля до Т. Для условий в форме неравенств квадрат невязки умножается на величину, обращающуюся в нуль для тех значений I, при которых неравенство выполняется строго, и положительную для остальных t. [c.147] В качестве начального приближения при поиске минимума функционала Ф выбирается положение текущей точки поиска в основном алгоритме. [c.148] Так как в линеаризованных уравнениях и условиях оптимальности производные вычисляются при выбранной (г), то коэффициенты этих уравнений являются заданными функциями времени. Множитель —Хн можто принять равным единице. Система (111-30) — (П1-31) позволяет найти 8y . ( ) ф (г , X и б /1 (О. [c.149] Алгоритм Ньютона. В окрестности экстремальной точки скорость сходимости алгоритма проекции градиента падает, если условный градиент критерия оптимальности мал. Случайные погрешности счета приводят к изменению знака отдельных составляющих градиента. [c.149] Система из N линейных уравнений (111-35) совместно с линеаризованными уравнениями связей и активных ограничений позволяет найти N составляющих вектора 8 у и множители Лагранжа Л, входящие в R. [c.151] Основным недостатком алгоритма Ньютона является то, что при его использовании нужно на каждом шаге вычислять матрицу (III-32) вторых производных целевой функции. Это очень трудоемкая операция особенно в том случае, когда целевая функция задана алгоритмически и ее производные приходится заменять соответствующими разностями. Поэтому на практике для определения максимума функции, близкой к квадратичной, при линеаризованных ограничениях используют алгоритмы сопряженных направлений и сопряженных градиентов. Подробное описание этих алгоритмов можно найти, например, в работах [10], [30]. [c.151] Вернуться к основной статье