ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Представление чисел заполнения из "Физическая механика реальных кристаллов" Описывая колебания кристалла, мы исходили из классических уравнений движения атомов (или молекул), расположенных в узлах кристаллической решетки. Но хорошо известно, что внутренние движения в системе взаимодействующих атомов или молекул должны описываться не классической, а квантовой механикой. Поэтому на первый взгляд может показаться, что классическое описание колебаний кристалла является слишком грубым приближением и с самого начала следовало бы исходить из квантовых законов. Однако малые колебания идеального кристалла представляют собой тот редкий случай физической системы, квазиклассическое рассмотрение которой приводит к результатам, совпадающим с таковыми при строго квантовом рассмотрении. Это связано с тем, что механика малых колебаний кристалла эквивалентна механике системы независимых гармонических осцилляторов. А классификация состояний и расчет энергетического спектра гармонического осциллятора на квазиклассическом уровне, как известно, являются квантовомеханически точными. [c.119] Числа Ык носят названия чшел заполнения состояний к. При квантовомеханическом исследовании систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц, оказывается полезным математический метод рассмотрения, в котором числа заполнения игра, ют роль независимых переменных. В представлении чисел заполнения различные колебательные состояния кристалла характеризуются разными наборами чисел (Л к), а операторы ак и йк действуют именно на эти числа. [c.121] Таким образом, сумма операторов а и ак исполняет роль координаты, а их разность — роль импульса соответствующего гармонического осциллятора. [c.121] Обратим внимание на весьма важное обстоятельство, отраженное в формуле (6.15). При переходе от смещений к операторам по формуле (6.15) в знаменателе всегда возникает множитель ]/ю (к), сопровождающий оператор ак или ак . [c.122] Мы убедились, что операторы основных физических величин могут быть выражены непосредственно, через операторы ак и а . Поэтому имеет смысл подробнее обсудить их свойства. Будем основываться на представлении Гейзенберга, когда динамические процессы описываются зависимостью от времени операторов физических величин, уравнения движения для которых весьма сходны с классическими уравнениями Гамильтона. [c.122] Заметим, что уравнения движения (6.18) для операторов йк и Ок являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения (1,53) для нормальных координат суть уравнения второго порядка по времени. [c.123] Используя выражения (6.20), в случае М — I и линейные соотношения (6.13), легко обнаружить, что матричные элементы операторов аь и Ок отличны от нуля только для переходов, при которых соответствующие числа заполнения Ык (с тем же значением к) изменяются на единицу. [c.123] Мы пользуемся обычным представлением матричных элементов тп н т ИI я = ( 3) ЛVn Q)dQ, где ( 2) = ( я — соответствующие нормировочные волновые функции (Q — набор координат). [c.123] Таким образом, оператор аи переводит функцию с числом заполнения Л к в функцию с числом заполнения Л к — 1, т. е. уменьшает число заполнения на единицу, а оператор увеличивает число заполнения на единицу. [c.124] Вернуться к основной статье